Para evaluar el cociente de diferencias [tex]\(\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)[/tex] donde [tex]\(f(x) = 2x^2 - 5x + 1\)[/tex] y [tex]\(h \neq 0\)[/tex], seguimos estos pasos:
1. Calcular [tex]\(f(a+h)\)[/tex]:
[tex]\[
f(a+h) = 2(a+h)^2 - 5(a+h) + 1
\][/tex]
Primero expandimos los términos:
[tex]\[
2(a+h)^2 = 2(a^2 + 2ah + h^2) = 2a^2 + 4ah + 2h^2
\][/tex]
[tex]\[
-5(a+h) = -5a - 5h
\][/tex]
Juntando estos resultados, tenemos:
[tex]\[
f(a+h) = 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1
\][/tex]
2. Calcular [tex]\(f(a)\)[/tex]:
[tex]\[
f(a) = 2a^2 - 5a + 1
\][/tex]
3. Crear la diferencia [tex]\(f(a+h) - f(a)\)[/tex]:
[tex]\[
f(a+h) - f(a) = (2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1) - (2a^2 - 5a + 1)
\][/tex]
Simplificando, observamos que los términos [tex]\(2a^2\)[/tex], [tex]\(-5a\)[/tex], y [tex]\(1\)[/tex] se cancelan:
[tex]\[
f(a+h) - f(a) = 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1 - 2a^2 + 5a - 1 = 4ah + 2h^2 - 5h
\][/tex]
4. Dividir la diferencia entre [tex]\(h\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{4ah + 2h^2 - 5h}{h}
\][/tex]
5. Simplificar el cociente:
[tex]\[
\frac{4ah + 2h^2 - 5h}{h} = 4a + 2h - 5
\][/tex]
Por lo tanto, el cociente de diferencias [tex]\(\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)[/tex] es:
[tex]\[
\boxed{4a + 2h - 5}
\][/tex]
