Para determinar el dominio de la función [tex]\( f(x) = \frac{3x+1}{\sqrt{x^2 - x - 6}} \)[/tex], debemos asegurarnos de que la expresión dentro de la raíz cuadrada sea positiva, ya que no podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo en los números reales, y la expresión dentro del denominador no debe ser igual a cero, ya que no podemos dividir por cero. Entonces, primero resolveremos la desigualdad [tex]\( x^2 - x - 6 > 0 \)[/tex].
Paso 1: Resolver la ecuación cuadrática [tex]\( x^2 - x - 6 = 0 \)[/tex].
Podemos factorizar la ecuación [tex]\( x^2 - x - 6 = 0 \)[/tex] para encontrar sus raíces.
Factoremos:
[tex]\[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \][/tex]
Por lo tanto, las raíces son:
[tex]\[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \][/tex]
[tex]\[ x + 2 = 0 \implies x = -2 \][/tex]
Paso 2: Determinar los intervalos en los que [tex]\( x^2 - x - 6 > 0 \)[/tex].
Ahora que hemos encontrado las raíces, podemos usar estos puntos para determinar los intervalos en los que la expresión [tex]\( x^2 - x - 6 \)[/tex] es mayor que cero.
Los puntos críticos dividen la recta numérica en tres intervalos: [tex]\( (-\infty, -2) \)[/tex], [tex]\( (-2, 3) \)[/tex], y [tex]\( (3, \infty) \)[/tex].
Vamos a probar un valor dentro de cada intervalo para determinar si la expresión es positiva o negativa en esos intervalos.
- Para el intervalo [tex]\( (-\infty, -2) \)[/tex]:
Probemos con [tex]\( x = -3 \)[/tex]:
[tex]\[ (-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0 \][/tex]
Entonces, [tex]\( x^2 - x - 6 > 0 \)[/tex] en el intervalo [tex]\( (-\infty, -2) \)[/tex].
- Para el intervalo [tex]\( (-2, 3) \)[/tex]:
Probemos con [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 0^2 - 0 - 6 = -6 < 0 \][/tex]
Entonces, [tex]\( x^2 - x - 6 < 0 \)[/tex] en el intervalo [tex]\( (-2, 3) \)[/tex].
- Para el intervalo [tex]\( (3, \infty) \)[/tex]:
Probemos con [tex]\( x = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ 4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0 \][/tex]
Entonces, [tex]\( x^2 - x - 6 > 0 \)[/tex] en el intervalo [tex]\( (3, \infty) \)[/tex].
Paso 3: Determinar el dominio de [tex]\( f(x) \)[/tex].
La desigualdad original que necesitamos es [tex]\( x^2 - x - 6 > 0 \)[/tex].
Entonces, el dominio de la función es:
[tex]\[ (-\infty, -2) \cup (3, \infty) \][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es la primera opción:
Resolver la desigualdad [tex]$x^2 - x - 6 > 0$[/tex] y el dominio obtenido será [tex]\( D = (-\infty, -2) \cup (3, \infty) \)[/tex].
