Para resolver este problema, vamos a seguir un enfoque sistemático que nos permita encontrar el mayor decimal periódico formado por las cifras dadas y calcular la suma de los dígitos de la parte entera de este decimal.
### Paso 1: Identificar posibles decimales periódicos
Primero, para formar decimales periódicos con las cifras dadas [tex]\(4, 2, 5\)[/tex] y [tex]\(7\)[/tex], podemos utilizar fracciones con numeradores correspondiendo a estas cifras y denominadores que generan dicho comportamiento periódico. Fracciones con denominadores [tex]\(9, 99, 999, 9999\)[/tex] producen decimales periódicos. Por ejemplo:
- [tex]\( \frac{4}{9} \)[/tex]
- [tex]\( \frac{2}{99} \)[/tex]
- [tex]\( \frac{5}{999} \)[/tex]
- [tex]\( \frac{7}{9999} \)[/tex]
### Paso 2: Calcular los decimales periódicos
Usaremos las cifras como numeradores y los denominadores mencionados para buscar aquellos números periódicos:
1. [tex]\( \frac{4}{9} = 0.\overline{4} \)[/tex]
2. [tex]\( \frac{4}{99} = 0.0\overline{40} \)[/tex]
3. [tex]\( \frac{4}{999} = 0.00\overline{004} \)[/tex]
4. [tex]\( \frac{4}{9999} = 0.000\overline{0004} \)[/tex]
5. [tex]\( \frac{2}{9} = 0.\overline{2} \)[/tex]
6. [tex]\( \frac{2}{99} = 0.0\overline{20} \)[/tex]
7. [tex]\( \frac{2}{999} = 0.00\overline{002} \)[/tex]
8. [tex]\( \frac{2}{9999} = 0.000\overline{0002} \)[/tex]
9. [tex]\( \frac{5}{9} = 0.\overline{5} \)[/tex]
10. [tex]\( \frac{5}{99} = 0.0\overline{50} \)[/tex]
11. [tex]\( \frac{5}{999} = 0.00\overline{005} \)[/tex]
12. [tex]\( \frac{5}{9999} = 0.000\overline{0005} \)[/tex]
13. [tex]\( \frac{7}{9} = 0.\overline{7} \)[/tex]
14. [tex]\( \frac{7}{99} = 0.0\overline{70} \)[/tex]
15. [tex]\( \frac{7}{999} = 0.00\overline{007} \)[/tex]
16. [tex]\( \frac{7}{9999} = 0.000\overline{0007} \)[/tex]
### Paso 3: Encontrar el mayor decimal periódico
Comparando estos valores, se observa que el mayor decimal periódico es:
[tex]\[ \frac{7}{9} = 0.\overline{7} \][/tex]
### Paso 4: Determinar la parte entera de este decimal periódico
El valor [tex]\(0.\overline{7}\)[/tex] no tiene parte entera, ya que se sitúa completamente en la parte decimal.
### Paso 5: Sumar las cifras de la parte entera
Dado que la mayor cifra precisamente no tiene parte entera diferente de 0, la suma de sus cifras será:
[tex]\[ \text{Suma de cifras de la parte entera} = 0 \][/tex]
### Resultado Final
Por lo tanto, la suma de las cifras de la parte entera del mayor decimal periódico formado por las cifras dadas es [tex]\(0\)[/tex].
