Answer :
Claro, resolveremos cada división paso a paso.
### Parte a: [tex]\(\left(a^2 + 3a + 2\right) \div (a + 1)\)[/tex]
1. Expresión inicial:
[tex]\[ \frac{a^2 + 3a + 2}{a + 1} \][/tex]
2. Factorización del numerador [tex]\((a^2 + 3a + 2)\)[/tex]:
[tex]\[ a^2 + 3a + 2 = (a + 1)(a + 2) \][/tex]
3. Dividimos cada término factorizado por el denominador [tex]\((a + 1)\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{(a + 1)(a + 2)}{a + 1} \][/tex]
4. Cancelación de los términos comunes:
[tex]\[ a + 2 \][/tex]
5. Resultado:
[tex]\[ a + 2 \][/tex]
### Parte b: [tex]\(\left(6x^2 + 16x + 8\right) \div (3x + 2)\)[/tex]
1. Expresión inicial:
[tex]\[ \frac{6x^2 + 16x + 8}{3x + 2} \][/tex]
2. Realizamos la división polinómica. Primero, dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor:
[tex]\[ \frac{6x^2}{3x} = 2x \][/tex]
3. Multiplicamos [tex]\(2x\)[/tex] por el divisor completo [tex]\((3x + 2)\)[/tex]:
[tex]\[ 2x \cdot (3x + 2) = 6x^2 + 4x \][/tex]
4. Restamos esta cantidad del dividendo original:
[tex]\[ (6x^2 + 16x + 8) - (6x^2 + 4x) = 12x + 8 \][/tex]
5. Dividimos el nuevo primer término del resto entre el primer término del divisor:
[tex]\[ \frac{12x}{3x} = 4 \][/tex]
6. Multiplicamos [tex]\(4\)[/tex] por el divisor:
[tex]\[ 4 \cdot (3x + 2) = 12x + 8 \][/tex]
7. Restamos esto del resto:
[tex]\[ (12x + 8) - (12x + 8) = 0 \][/tex]
8. Resultado:
[tex]\[ 2x + 4 \][/tex]
### Parte c: [tex]\(\left(6a^2 + a - 2\right) \div (2a - 1)\)[/tex]
1. Expresión inicial:
[tex]\[ \frac{6a^2 + a - 2}{2a - 1} \][/tex]
2. Realizamos la división polinómica. Primero, dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor:
[tex]\[ \frac{6a^2}{2a} = 3a \][/tex]
3. Multiplicamos [tex]\(3a\)[/tex] por el divisor completo [tex]\((2a - 1)\)[/tex]:
[tex]\[ 3a \cdot (2a - 1) = 6a^2 - 3a \][/tex]
4. Restamos esta cantidad del dividendo original:
[tex]\[ (6a^2 + a - 2) - (6a^2 - 3a) = 4a - 2 \][/tex]
5. Dividimos el nuevo primer término del resto entre el primer término del divisor:
[tex]\[ \frac{4a}{2a} = 2 \][/tex]
6. Multiplicamos [tex]\(2\)[/tex] por el divisor:
[tex]\[ 2 \cdot (2a - 1) = 4a - 2 \][/tex]
7. Restamos esto del resto:
[tex]\[ (4a - 2) - (4a - 2) = 0 \][/tex]
8. Resultado:
[tex]\[ 3a + 2 \][/tex]
### Parte d: [tex]\(\left(4x^2 - 36\right) \div (2x - 6)\)[/tex]
1. Expresión inicial:
[tex]\[ \frac{4x^2 - 36}{2x - 6} \][/tex]
2. Factorizamos el numerador [tex]\(4x^2 - 36\)[/tex] utilizando la diferencia de cuadrados:
[tex]\[ 4x^2 - 36 = 4(x^2 - 9) = 4(x + 3)(x - 3) \][/tex]
3. Dividimos la expresión factorizada por el denominador:
[tex]\[ \frac{4(x + 3)(x - 3)}{2(x - 3)} \][/tex]
4. Simplificamos cancelando el término [tex]\((x - 3)\)[/tex]:
[tex]\[ 2(x + 3) \][/tex]
5. Resultado:
[tex]\[ 2x + 6 \][/tex]
Así se resuelven las divisiones polinómicas en cada caso.
### Parte a: [tex]\(\left(a^2 + 3a + 2\right) \div (a + 1)\)[/tex]
1. Expresión inicial:
[tex]\[ \frac{a^2 + 3a + 2}{a + 1} \][/tex]
2. Factorización del numerador [tex]\((a^2 + 3a + 2)\)[/tex]:
[tex]\[ a^2 + 3a + 2 = (a + 1)(a + 2) \][/tex]
3. Dividimos cada término factorizado por el denominador [tex]\((a + 1)\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{(a + 1)(a + 2)}{a + 1} \][/tex]
4. Cancelación de los términos comunes:
[tex]\[ a + 2 \][/tex]
5. Resultado:
[tex]\[ a + 2 \][/tex]
### Parte b: [tex]\(\left(6x^2 + 16x + 8\right) \div (3x + 2)\)[/tex]
1. Expresión inicial:
[tex]\[ \frac{6x^2 + 16x + 8}{3x + 2} \][/tex]
2. Realizamos la división polinómica. Primero, dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor:
[tex]\[ \frac{6x^2}{3x} = 2x \][/tex]
3. Multiplicamos [tex]\(2x\)[/tex] por el divisor completo [tex]\((3x + 2)\)[/tex]:
[tex]\[ 2x \cdot (3x + 2) = 6x^2 + 4x \][/tex]
4. Restamos esta cantidad del dividendo original:
[tex]\[ (6x^2 + 16x + 8) - (6x^2 + 4x) = 12x + 8 \][/tex]
5. Dividimos el nuevo primer término del resto entre el primer término del divisor:
[tex]\[ \frac{12x}{3x} = 4 \][/tex]
6. Multiplicamos [tex]\(4\)[/tex] por el divisor:
[tex]\[ 4 \cdot (3x + 2) = 12x + 8 \][/tex]
7. Restamos esto del resto:
[tex]\[ (12x + 8) - (12x + 8) = 0 \][/tex]
8. Resultado:
[tex]\[ 2x + 4 \][/tex]
### Parte c: [tex]\(\left(6a^2 + a - 2\right) \div (2a - 1)\)[/tex]
1. Expresión inicial:
[tex]\[ \frac{6a^2 + a - 2}{2a - 1} \][/tex]
2. Realizamos la división polinómica. Primero, dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor:
[tex]\[ \frac{6a^2}{2a} = 3a \][/tex]
3. Multiplicamos [tex]\(3a\)[/tex] por el divisor completo [tex]\((2a - 1)\)[/tex]:
[tex]\[ 3a \cdot (2a - 1) = 6a^2 - 3a \][/tex]
4. Restamos esta cantidad del dividendo original:
[tex]\[ (6a^2 + a - 2) - (6a^2 - 3a) = 4a - 2 \][/tex]
5. Dividimos el nuevo primer término del resto entre el primer término del divisor:
[tex]\[ \frac{4a}{2a} = 2 \][/tex]
6. Multiplicamos [tex]\(2\)[/tex] por el divisor:
[tex]\[ 2 \cdot (2a - 1) = 4a - 2 \][/tex]
7. Restamos esto del resto:
[tex]\[ (4a - 2) - (4a - 2) = 0 \][/tex]
8. Resultado:
[tex]\[ 3a + 2 \][/tex]
### Parte d: [tex]\(\left(4x^2 - 36\right) \div (2x - 6)\)[/tex]
1. Expresión inicial:
[tex]\[ \frac{4x^2 - 36}{2x - 6} \][/tex]
2. Factorizamos el numerador [tex]\(4x^2 - 36\)[/tex] utilizando la diferencia de cuadrados:
[tex]\[ 4x^2 - 36 = 4(x^2 - 9) = 4(x + 3)(x - 3) \][/tex]
3. Dividimos la expresión factorizada por el denominador:
[tex]\[ \frac{4(x + 3)(x - 3)}{2(x - 3)} \][/tex]
4. Simplificamos cancelando el término [tex]\((x - 3)\)[/tex]:
[tex]\[ 2(x + 3) \][/tex]
5. Resultado:
[tex]\[ 2x + 6 \][/tex]
Así se resuelven las divisiones polinómicas en cada caso.
