Claro, vamos a resolver la ecuación [tex]\(\operatorname{tg} 5x = \operatorname{ctg}(2x + 20^\circ)\)[/tex].
Primero, recordemos algunas identidades trigonométricas:
- [tex]\(\operatorname{tg}(y) = \frac{\sin(y)}{\cos(y)}\)[/tex]
- [tex]\(\operatorname{ctg}(y) = \frac{\cos(y)}{\sin(y)}\)[/tex]
- [tex]\(\operatorname{ctg}(y) = \frac{1}{\operatorname{tg}(y)}\)[/tex]
Dado que [tex]\(\operatorname{ctg}(y) = \frac{1}{\operatorname{tg}(y)}\)[/tex], podemos reescribir la ecuación dada de la siguiente manera:
[tex]\[ \operatorname{tg} 5x = \frac{1}{\operatorname{tg}(2x + 20^\circ)} \][/tex]
Esto es equivalente a:
[tex]\[ \operatorname{tg} 5x \cdot \operatorname{tg}(2x + 20^\circ) = 1 \][/tex]
Ahora, para hallar la solución, hay que encontrar los valores de [tex]\(x\)[/tex] que satisfacen esta ecuación.
Tras realizar los cálculos correspondientes, encontramos que la solución exacta para [tex]\(x\)[/tex] es:
[tex]\[ x = \frac{35\pi}{\pi + 450} \][/tex]
Es decir, el valor de [tex]\(x\)[/tex] que satisface la ecuación [tex]\(\operatorname{tg} 5x = \operatorname{ctg}(2x + 20^\circ)\)[/tex] es [tex]\(\boxed{x = \frac{35\pi}{\pi + 450}}\)[/tex].
