Para resolver la ecuación:
[tex]\[
\frac{8}{9} - 8y - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}y + \frac{3}{8}y
\][/tex]
seguiremos los siguientes pasos:
### Simplificación y combinación de términos semejantes
1. Simplificar los términos constantes en ambos lados de la ecuación:
[tex]\[
\frac{8}{9} - \frac{2}{3} - 8y = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}y + \frac{3}{8}y
\][/tex]
Convierte los fracciones con el mismo denominador:
[tex]\[
\frac{8}{9} - \frac{6}{9} - 8y = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}y + \frac{3}{8}y
\][/tex]
Esto simplifica a:
[tex]\[
\frac{2}{9} - 8y = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}y + \frac{3}{8}y
\][/tex]
### Simplificación de Términos con [tex]\(y\)[/tex]
2. Ahora combinamos los términos con [tex]\(y\)[/tex] en el lado derecho de la ecuación. Primero, obteniendo el común denominador para [tex]\(\frac{2}{3}y\)[/tex] y [tex]\(\frac{3}{8}y\)[/tex]:
Para [tex]\(\frac{2}{3}\)[/tex] y [tex]\(\frac{3}{8}\)[/tex], el mínimo común denominador es [tex]\(24\)[/tex]. Esta conversión tiene como resultado:
[tex]\[
\frac{2}{3}y = \frac{16}{24}y
\][/tex]
y
[tex]\[
\frac{3}{8}y = \frac{9}{24}y
\][/tex]
Sumando estos términos, se obtiene:
[tex]\[
\frac{16}{24}y + \frac{9}{24}y = \frac{25}{24}y
\][/tex]
La ecuación se convierte en:
[tex]\[
\frac{2}{9} - 8y = \frac{4}{3} + \frac{25}{24} y
\][/tex]
### Aislamiento de la Variable [tex]\(y\)[/tex]
3. Mueve todos los términos con [tex]\(y\)[/tex] a un lado de la ecuación y los términos constantes al otro lado:
[tex]\[
-8y - \frac{25}{24} y = \frac{4}{3} - \frac{2}{9}
\][/tex]
Para los términos constantes usando un denominador común de [tex]\(9\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{4}{3} = \frac{12}{9}
\][/tex]
por lo que:
[tex]\[
\frac{12}{9} - \frac{2}{9} = \frac{10}{9}
\][/tex]
lo cual resulta en:
[tex]\[
-8y - \frac{25}{24}y = \frac{10}{9}
\][/tex]
Es conveniente expresar [tex]\( -8y \)[/tex] en fracción con denominador 24:
[tex]\[
-8y = -\frac{192}{24}y \implies -\frac{192}{24}y - \frac{25}{24}y = \frac{10}{9}
\][/tex]
Combina los términos con [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[
-\frac{217}{24} y = \frac{10}{9}
\][/tex]
### Resolución del Valor de [tex]\( y \)[/tex]
4. Aislar [tex]\(y\)[/tex] dividiendo ambos lados por [tex]\(-\frac{217}{24}\)[/tex]:
[tex]\[
y = \frac{\frac{10}{9}}{-\frac{217}{24}} = \frac{10}{9} \times \frac{24}{-217} = \frac{240}{-1953}
\][/tex]
Simplifica la fracción:
[tex]\[
y = -\frac{240}{1953}
\][/tex]
### Conclusión
Por lo tanto, el valor de la variable [tex]\( y \)[/tex] es:
[tex]\[
y = -\frac{240}{1953}
\][/tex]
