Vamos a resolver el problema de manera detallada paso a paso.
#### Paso 1: Determinar la longitud original del lado del cuadrado
Supongamos que la longitud original de un lado del cuadrado es [tex]\(x\)[/tex] metros. La superficie original del cuadrado es entonces [tex]\(x^2\)[/tex] metros cuadrados.
#### Paso 2: Calcular el área después de aumentar cada lado del cuadrado
Si aumentamos cada lado del cuadrado en 4 metros, la nueva longitud de los lados del cuadrado será [tex]\(x + 4\)[/tex] metros. La nueva área del cuadrado será [tex]\((x + 4)^2\)[/tex] metros cuadrados.
#### Paso 3: Establecer y resolver la ecuación para el incremento del área
El problema nos dice que la diferencia entre la nueva área y la área original del cuadrado es de 64 metros cuadrados. Podemos escribir esto como:
[tex]\[ (x + 4)^2 - x^2 = 64 \][/tex]
Expandimos y simplificamos la expresión:
[tex]\[ (x^2 + 8x + 16) - x^2 = 64 \][/tex]
Qué se simplifica a:
[tex]\[ 8x + 16 = 64 \][/tex]
Restamos 16 en ambos lados de la ecuación:
[tex]\[ 8x + 16 - 16 = 64 - 16 \][/tex]
[tex]\[ 8x = 48 \][/tex]
Dividimos ambos lados entre 8:
[tex]\[ x = \frac{48}{8} \][/tex]
[tex]\[ x = 6 \][/tex]
#### Paso 4: Concluir las dimensiones del cuadrado
Hemos encontrado que la longitud original del lado del cuadrado es de 6 metros. Después de aumentar cada lado en 4 metros, la nueva longitud de los lados será:
[tex]\[ 6 \text{ metros} + 4 \text{ metros} = 10 \text{ metros} \][/tex]
#### Resumen
Para el cuadrado original:
- La longitud del lado original es de 6 metros.
Después del aumento:
- La longitud del lado es de 10 metros.
Por lo tanto, las dimensiones del cuadrado cuando se aumenta 4 metros a cada lado son:
- La longitud original del lado es 6 metros.
- La longitud nueva del lado es 10 metros.
