Para resolver este problema, sigamos un enfoque paso a paso:
1. Datos proporcionados:
- Masa ([tex]\(m\)[/tex]) del objeto: 10 kg
- Altura inicial ([tex]\(h_{\text{inicial}}\)[/tex]): 100 metros
- Aceleración debida a la gravedad ([tex]\(g\)[/tex]): 9.8 m/s²
2. Energía potencial gravitacional inicial:
Para calcular la energía potencial gravitacional al inicio, usamos la fórmula:
[tex]\[
E_p = m \cdot g \cdot h
\][/tex]
Donde:
- [tex]\(E_p\)[/tex] es la energía potencial
- [tex]\(m\)[/tex] es la masa
- [tex]\(g\)[/tex] es la aceleración debida a la gravedad
- [tex]\(h\)[/tex] es la altura
Sustituimos los valores dados:
[tex]\[
E_p = 10 \, \text{kg} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \times 100 \, \text{m}
\][/tex]
Calculando la energía potencial inicial:
[tex]\[
E_p = 9800 \, \text{J} (julios)
\][/tex]
3. Conversión de energía potencial a energía cinética:
Mientras el objeto cae, toda la energía potencial se convierte en energía cinética (KE), asumiendo que no hay pérdida de energía debido a la resistencia del aire.
La fórmula para la energía cinética es:
[tex]\[
KE = \frac{1}{2} m v^2
\][/tex]
Donde:
- [tex]\(KE\)[/tex] es la energía cinética
- [tex]\(m\)[/tex] es la masa
- [tex]\(v\)[/tex] es la velocidad
Dado que toda la energía potencial inicial se convierte en energía cinética al llegar al suelo:
[tex]\[
E_p = KE
\][/tex]
Así que:
[tex]\[
9800 = \frac{1}{2} (10) v^2
\][/tex]
4. Resolviendo para la velocidad ([tex]\(v\)[/tex]):
Despejamos [tex]\(v\)[/tex] en la ecuación:
[tex]\[
9800 = 5 v^2
\][/tex]
Multiplicamos ambos lados por 2:
[tex]\[
19600 = 10 v^2
\][/tex]
Dividimos ambos lados entre 10:
[tex]\[
1960 = v^2
\][/tex]
Tomamos la raíz cuadrada en ambos lados:
[tex]\[
v = \sqrt{1960}
\][/tex]
Calculando la raíz cuadrada, obtenemos:
[tex]\[
v \approx 44.27 \, \text{m/s}
\][/tex]
5. Resultados:
- La energía potencial inicial es de [tex]\(9800 \, \text{J}\)[/tex].
- La velocidad final del objeto al llegar al suelo es aproximadamente [tex]\(44.27 \, \text{m/s}\)[/tex].
Estos son los valores resultantes basados en los datos y las fórmulas proporcionadas: [tex]\(9800 \, \text{J}\)[/tex] para la energía potencial inicial y aproximadamente [tex]\(44.27 \, \text{m/s}\)[/tex] para la velocidad final.
