Para resolver esta pregunta, tenemos que evaluar las funciones [tex]\( f(x) = x^2 \)[/tex], [tex]\( g(x) = \frac{1}{3}x^2 \)[/tex] y [tex]\( h(x) = 3x^2 \)[/tex] en [tex]\( x = \frac{1}{3} \)[/tex] y luego comparar los valores obtenidos. Vamos a hacerlo paso a paso:
1. Evaluar [tex]\( f(x) \)[/tex] en [tex]\( x = \frac{1}{3} \)[/tex]:
[tex]\[
f\left( \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}
\][/tex]
2. Evaluar [tex]\( g(x) \)[/tex] en [tex]\( x = \frac{1}{3} \)[/tex]:
[tex]\[
g\left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{27}
\][/tex]
3. Evaluar [tex]\( h(x) \)[/tex] en [tex]\( x = \frac{1}{3} \)[/tex]:
[tex]\[
h\left( \frac{1}{3} \right) = 3 \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
\][/tex]
Ahora que tenemos los valores de las funciones en [tex]\( x = \frac{1}{3} \)[/tex]:
- [tex]\( f\left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{9} \)[/tex]
- [tex]\( g\left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{27} \)[/tex]
- [tex]\( h\left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} \)[/tex]
Vamos a comparar estos valores:
- [tex]\( \frac{1}{27} < \frac{1}{9} < \frac{1}{3} \)[/tex]
Por lo tanto, el orden correcto es:
[tex]\[
g\left( \frac{1}{3} \right) < f\left( \frac{1}{3} \right) < h\left( \frac{1}{3} \right)
\][/tex]
Que corresponde a la opción:
B) [tex]\( g\left( \frac{1}{3} \right) < f\left( \frac{1}{3} \right) < h\left( \frac{1}{3} \right) \)[/tex]
Así que la respuesta correcta es la opción B.
