Pentru a arăta că valoarea expresiei [tex]\(\frac{6}{\sqrt{5} + 3} - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 3}\)[/tex] este un număr natural, trebuie să urmam câțiva pași importanți de simplificare și raționalizare a numitorilor.
1. Raționalizarea primului termen:
Dată fiind fracția [tex]\(\frac{6}{\sqrt{5} + 3}\)[/tex], înmulțim atât numărătorul cât și numitorul cu conjugatul numitorului, adică [tex]\(\sqrt{5} - 3\)[/tex].
[tex]\[
\frac{6}{\sqrt{5} + 3} \cdot \frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} - 3} = \frac{6(\sqrt{5} - 3)}{(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3)}
\][/tex]
Numitorul devine:
[tex]\[
(\sqrt{5})^2 - 3^2 = 5 - 9 = -4
\][/tex]
Numărătorul devine:
[tex]\[
6(\sqrt{5} - 3) = 6\sqrt{5} - 18
\][/tex]
Așadar, fracția raționalizată este:
[tex]\[
\frac{6\sqrt{5} - 18}{-4} = \frac{6\sqrt{5}}{-4} - \frac{18}{-4} = -\frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}
\][/tex]
Rescriem rezultatul ca o singură fracție:
[tex]\[
\frac{-3\sqrt{5} + 9}{2}
\][/tex]
2. Raționalizarea celui de-al doilea termen:
Dată fiind fracția [tex]\(\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 3}\)[/tex], înmulțim atât numărătorul cât și numitorul cu conjugatul numitorului, adică [tex]\(\sqrt{5} + 3\)[/tex].
[tex]\[
\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 3} \cdot \frac{\sqrt{5} + 3}{\sqrt{5} + 3} = \frac{2\sqrt{5}(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)}
\][/tex]
Numitorul devine:
[tex]\[
(\sqrt{5})^2 - 3^2 = 5 - 9 = -4
\][/tex]
Numărătorul devine:
[tex]\[
2\sqrt{5}(\sqrt{5} + 3) = 2(5 + 3\sqrt{5}) = 10 + 6\sqrt{5}
\][/tex]
Așadar, fracția raționalizată este:
[tex]\[
\frac{10 + 6\sqrt{5}}{-4} = \frac{10}{-4} + \frac{6\sqrt{5}}{-4} = -\frac{5}{2} - \frac{3\sqrt{5}}{2}
\][/tex]
Rescriem rezultatul ca o singură fracție:
[tex]\[
\frac{-5 - 3\sqrt{5}}{2}
\][/tex]
3. Calcularea expresiei complete:
Acum, punem cele două fracții obținute împreună și calculăm:
[tex]\[
\left( \frac{-3\sqrt{5} + 9}{2} \right) - \left( \frac{-3\sqrt{5} + 5}{2} \right)
\][/tex]
Numitorii sunt egali, deci putem scădea numărătorii direct:
[tex]\[
\frac{-3\sqrt{5} + 9 - (-3\sqrt{5} + 5)}{2} = \frac{-3\sqrt{5} + 9 + 3\sqrt{5} - 5}{2} = \frac{9 - 5}{2} = \frac{4}{2} = 2
\][/tex]
Rezultatul final arată că valoarea expresiei este:
[tex]\[
2
\][/tex]
Prin urmare, valoarea expresiei [tex]\(\frac{6}{\sqrt{5} + 3} - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} - 3}\)[/tex] este un număr natural și este, de fapt, 2.
