Claro, vamos a determinar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación general [tex]\(x^2 + y^2 + 4x + 6y + 9 = 0\)[/tex].
Para hacer esto, vamos a convertir la ecuación general en la forma estándar de la ecuación de una circunferencia, que es [tex]\((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)[/tex], donde [tex]\((h, k)\)[/tex] es el centro y [tex]\(r\)[/tex] es el radio.
1. Partimos de la ecuación general:
[tex]\[ x^2 + y^2 + 4x + 6y + 9 = 0 \][/tex]
2. Agrupamos los términos de [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ (x^2 + 4x) + (y^2 + 6y) + 9 = 0 \][/tex]
3. Vamos a completar el cuadrado para los términos de [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex]:
- Para el término [tex]\(x^2 + 4x\)[/tex], añadimos y restamos 4 (que es [tex]\(\left(\frac{4}{2}\right)^2\)[/tex]):
[tex]\[ x^2 + 4x + 4 - 4 \][/tex]
Esto se puede escribir como:
[tex]\[ (x + 2)^2 - 4 \][/tex]
- Para el término [tex]\(y^2 + 6y\)[/tex], añadimos y restamos 9 (que es [tex]\(\left(\frac{6}{2}\right)^2\)[/tex]):
[tex]\[ y^2 + 6y + 9 - 9 \][/tex]
Esto se puede escribir como:
[tex]\[ (y + 3)^2 - 9 \][/tex]
4. Sustituimos estas expresiones en la ecuación original:
[tex]\[ (x + 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 + 9 = 0 \][/tex]
5. Simplificamos la ecuación:
[tex]\[ (x + 2)^2 + (y + 3)^2 - 4 = 0 \][/tex]
6. Movemos el término constante al otro lado de la ecuación para tener la forma estándar:
[tex]\[ (x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 4 \][/tex]
Ahora, si comparamos esta ecuación con la forma estándar [tex]\((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)[/tex], podemos identificar que:
- El centro [tex]\((h, k)\)[/tex] de la circunferencia es [tex]\((-2, -3)\)[/tex],
- El radio [tex]\(r\)[/tex] es [tex]\(\sqrt{4} = 2\)[/tex].
Por lo tanto, el centro de la circunferencia es [tex]\((-2, -3)\)[/tex] y el radio es 2.
