Para responder a la pregunta sobre cuánto tiempo en semanas se necesitaría para que una inversión crezca hasta un 1.42% con una tasa anual del 14.8% capitalizable semanalmente, debemos emplear la fórmula del interés compuesto.
La fórmula del interés compuesto es la siguiente:
[tex]\[ A = P \left(1 + \frac{r}{n} \right)^{nt} \][/tex]
Donde:
- [tex]\( A \)[/tex] es la cantidad final.
- [tex]\( P \)[/tex] es el valor inicial (o principal).
- [tex]\( r \)[/tex] es la tasa de interés anual.
- [tex]\( n \)[/tex] es el número de períodos de capitalización por año.
- [tex]\( t \)[/tex] es el tiempo en años.
En este caso:
- La cantidad final [tex]\( A \)[/tex] será el 1.42% de la cantidad inicial [tex]\( P \)[/tex], así que podemos expresar [tex]\( A \)[/tex] como 0.0142 (en formato decimal).
- La tasa de interés anual [tex]\( r \)[/tex] es 14.8%, lo cual es 0.148 en formato decimal.
- El número de períodos de capitalización por año [tex]\( n \)[/tex] es 52, ya que la capitalización es semanal.
- Necesitamos encontrar el tiempo [tex]\( t \)[/tex] (en años primero, luego lo convertiremos a semanas).
Sigamos paso a paso el proceso para encontrar [tex]\( t \)[/tex]:
1. Formular la relación:
[tex]\[ 0.0142 = 1 \left(1 + \frac{0.148}{52} \right)^{52t} \][/tex]
2. Separar la razón dentro del exponente:
[tex]\[ 0.0142 = \left(1 + \frac{0.148}{52} \right)^{52t} \][/tex]
3. Tomar logaritmos naturales (ln) en ambos lados para poder despejar [tex]\( t \)[/tex]:
[tex]\[ \ln(0.0142) = \ln \left(\left(1 + \frac{0.148}{52}\right)^{52t}\right) \][/tex]
4. Aplicar la propiedad de los logaritmos [tex]\( \ln(a^b) = b\ln(a) \)[/tex]:
[tex]\[ \ln(0.0142) = 52t \cdot \ln\left(1 + \frac{0.148}{52}\right) \][/tex]
5. Despejar [tex]\( t \)[/tex]:
[tex]\[ t = \frac{\ln(0.0142)}{52 \cdot \ln\left(1 + \frac{0.148}{52}\right)} \][/tex]
6. Convertir el tiempo en años a semanas (ya que hay 52 semanas en un año):
[tex]\[ t \text{ (semanas)} = t \text{ (en años)} \times 52 \][/tex]
Luego de realizar estos pasos, el tiempo [tex]\( t \)[/tex] obtendremos que:
- [tex]\( t \text{ (en años)} = -28.7876 \)[/tex] años
- [tex]\( t \text{ (semanas)} = -1496.955 \)[/tex] semanas
Este resultado puede parecer extraño porque tiene un tiempo negativo. El signo negativo indica que, en realidad, no es posible alcanzar ese porcentaje de crecimiento bajo esas condiciones de interés compuesto. Esto significa que, con esa tasa de interés y frecuencia de capitalización, nunca se alcanzará el 1.42% si partimos de una unidad.
