Voy a abordar cada una de las afirmaciones de manera detallada para determinar su veracidad y proporcionar un razonamiento matemático claro.
### 1. Cualquier término de la progresión [tex]$1, 3, 5, 7, \ldots$[/tex] tiene la forma [tex]$a_n = 2n - 1$[/tex]
- La progresión dada es una sucesión aritmética con primer término [tex]$a_1 = 1$[/tex] y diferencia común [tex]$d = 2$[/tex].
- La fórmula general para el término [tex]$n$[/tex]-ésimo de una progresión aritmética es:
[tex]\[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
\][/tex]
- Sustituyendo los valores específicos:
[tex]\[
a_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 2n - 1
\][/tex]
- Por lo tanto, la afirmación es correcta.
### 2. El quinto término de la progresión [tex]$5, 10, 20, \ldots$[/tex] es 82
- Esta progresión es una progresión geométrica con primer término [tex]$a = 5$[/tex] y razón [tex]$r = 2$[/tex].
- La fórmula general para el término [tex]$n$[/tex]-ésimo de una progresión geométrica es:
[tex]\[
a_n = a \cdot r^{n-1}
\][/tex]
- Para el quinto término, [tex]$n = 5$[/tex]:
[tex]\[
a_5 = 5 \cdot 2^{5-1} = 5 \cdot 16 = 80
\][/tex]
- Por lo tanto, el quinto término es 80, no 82, lo que hace que la afirmación sea incorrecta.
### 3. La progresión geométrica [tex]$2, 2, 2, \ldots$[/tex] es a la vez aritmética y geométrica
- Una progresión aritmética tiene una diferencia común constante. En este caso, cada término es el mismo, así que la diferencia común es 0 (constante).
- Una progresión geométrica tiene una razón común constante. En este caso, la razón es 1 (constante), ya que:
[tex]\[
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2}{2} = 1
\][/tex]
- Dado que cumple con ambas definiciones, esta progresión es tanto aritmética como geométrica. Por lo tanto, la afirmación es correcta.
### 4. En la progresión [tex]$5, x+8, 19, \ldots$[/tex], [tex]$x$[/tex] vale 4
- Para que los términos formen una progresión aritmética, la diferencia entre términos consecutivos debe ser constante.
[tex]\[
x + 8 - 5 = 19 - (x + 8)
\][/tex]
- Resolviendo esta ecuación:
[tex]\[
x + 3 = 11 - x
\][/tex]
[tex]\[
2x + 3 = 11
\][/tex]
[tex]\[
2x = 8
\][/tex]
[tex]\[
x = 4
\][/tex]
- Por lo tanto, la afirmación es correcta.
Resumiendo el análisis:
1. Correcto: Cualquier término de la progresión [tex]$1, 3, 5, 7, \ldots$[/tex] tiene la forma [tex]$a_n = 2n - 1$[/tex].
2. Incorrecto: El quinto término de la progresión [tex]$5, 10, 20, \ldots$[/tex] es 82 (el término correcto es 80).
3. Correcto: La progresión geométrica [tex]$2, 2, 2, \ldots$[/tex] es a la vez aritmética y geométrica.
4. Correcto: En la progresión [tex]$5, x + 8, 19, \ldots$[/tex], [tex]$x$[/tex] vale 4.
