1. Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones:

a) [tex]\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} =[/tex]

b) [tex]\frac{2}{\sqrt{6}} =[/tex]



Answer :

Claro, vamos a racionalizar los denominadores de las expresiones dadas paso a paso.

### Parte (a) Racionalizar [tex]$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$[/tex]

Para racionalizar el denominador de la expresión [tex]\(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}\)[/tex], multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de [tex]\(\sqrt{2} - \sqrt{3}\)[/tex] es [tex]\(\sqrt{2} + \sqrt{3}\)[/tex].

Multiplicamos entonces:

[tex]\[ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \][/tex]

Empezamos con el numerador:

[tex]\[ (\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6} \][/tex]

Ahora trabajamos el denominador usando la identidad de diferencia de cuadrados:

[tex]\[ (\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1 \][/tex]

Poniendo todo junto:

[tex]\[ \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{-1} = -(5 + 2\sqrt{6}) = -5 - 2\sqrt{6} \][/tex]

Por lo tanto, la expresión racionalizada es:

[tex]\[ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = -5 - 2\sqrt{6} \][/tex]

### Parte (b) Racionalizar [tex]$\frac{2}{\sqrt{6}}$[/tex]

Para racionalizar el denominador de [tex]\(\frac{2}{\sqrt{6}}\)[/tex], multiplicamos tanto el numerador como el denominador por [tex]\(\sqrt{6}\)[/tex]:

[tex]\[ \frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{(\sqrt{6})^2} \][/tex]

El denominador se simplifica:

[tex]\[ (\sqrt{6})^2 = 6 \][/tex]

Entonces la fracción se convierte en:

[tex]\[ \frac{2\sqrt{6}}{6} \][/tex]

Podemos simplificar el resultado dividiendo el numerador y el denominador por 2:

[tex]\[ \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \][/tex]

Por lo tanto, la expresión racionalizada es:

[tex]\[ \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \][/tex]

Resumen de las respuestas:

a) [tex]\(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = -5 - 2\sqrt{6}\)[/tex]

b) [tex]\(\frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\)[/tex]