Para resolver el problema, necesitamos encontrar los valores de [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex] que satisfacen las siguientes dos ecuaciones:
1. [tex]\( x^3 + y^3 = 100 \)[/tex]
2. [tex]\( x + y = 10 \)[/tex]
Luego, determinaremos la suma de sus cuadrados, es decir, [tex]\( x^2 + y^2 \)[/tex].
Paso 1: Introducción de las ecuaciones
Dadas las ecuaciones:
[tex]\[ x + y = 10 \][/tex]
[tex]\[ x^3 + y^3 = 100 \][/tex]
Paso 2: Uso de identidades algebraicas
Primero utilizamos la identidad de suma de cubos:
[tex]\[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \][/tex]
Sabemos que:
[tex]\[ x + y = 10 \][/tex]
Al sustituir esto en la identidad tenemos:
[tex]\[ 100 = (10)(x^2 - xy + y^2) \][/tex]
Paso 3: Solución de la ecuación resultante
[tex]\[ 100 = 10(x^2 - xy + y^2) \][/tex]
Dividiendo ambos lados entre 10:
[tex]\[ 10 = x^2 - xy + y^2 \][/tex]
Paso 4: Uso de la identidad del cuadrado de una suma
Sabemos por la identidad del cuadrado de una suma:
[tex]\[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \][/tex]
Y dado que [tex]\( x + y = 10 \)[/tex], tenemos:
[tex]\[ (x + y)^2 = 10^2 \][/tex]
[tex]\[ 100 = x^2 + 2xy + y^2 \][/tex]
Paso 5: Determinación de [tex]\( x^2 + y^2 \)[/tex]
Ahora restamos la ecuación [tex]\( x^2 - xy + y^2 = 10 \)[/tex] desde [tex]\( x^2 + 2xy + y^2 = 100 \)[/tex] para encontrar [tex]\( xy \)[/tex]:
[tex]\[ (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 100 - 10 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + xy - y^2 = 90 \][/tex]
[tex]\[ 3xy = 90 \][/tex]
[tex]\[ xy = 30 \][/tex]
Ahora sustituimos [tex]\( xy \)[/tex] en la ecuación [tex]\( x^2 - xy + y^2 = 10 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - 30 + y^2 = 10 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + y^2 = 10 + 30 \][/tex]
[tex]\[ x^2 + y^2 = 40 \][/tex]
Conclusión
La suma de los cuadrados de los valores de [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex] es:
[tex]\[ \boxed{40} \][/tex]
