5. Juan y Pedro ven desde las puertas de sus casas una torre, bajo ángulos de [tex]45^{\circ}[/tex] y [tex]60^{\circ}[/tex]. La distancia entre sus casas es de 126 m y la torre está situada entre sus casas.

Hallar la altura de la torre.



Answer :

Claro, vamos a resolver este problema de una manera detallada.

1. Pregunta los Datos:

- Angulo de visión de Juan: [tex]\(45^{\circ}\)[/tex]
- Angulo de visión de Pedro: [tex]\(60^{\circ}\)[/tex]
- Distancia entre las casas de Juan y Pedro: 126 m

2. Variables y Denotaciones:

- Vamos a denotar la altura de la torre como [tex]\(h\)[/tex].
- Denotemos la distancia desde la casa de Juan hasta la base de la torre como [tex]\(x\)[/tex].
- Por lo tanto, la distancia desde la casa de Pedro hasta la base de la torre será [tex]\(126 - x\)[/tex].

3. Uso de la Tangente:

La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre la componente opuesta y la componente adyacente.

- Para Juan: [tex]\(\tan(45^{\circ}) = \frac{h}{x}\)[/tex]
- Para Pedro: [tex]\(\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{126 - x}\)[/tex]

4. Cálculo de las Tangentes:

- Sabemos que [tex]\(\tan(45^{\circ}) = 1\)[/tex].
- También sabemos que [tex]\(\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}\)[/tex].

5. Utilizamos las Ecuaciones:

- De [tex]\(\tan(45^{\circ})\)[/tex]: [tex]\(h = x\)[/tex]
- De [tex]\(\tan(60^{\circ})\)[/tex]: [tex]\(h = (\sqrt{3} \times (126 - x))\)[/tex]

6. Igualamos las Ecuaciones para Obtener una Solución para [tex]\(x\)[/tex]:

[tex]\[ x = \sqrt{3} \times (126 - x) \][/tex]

Esto se convierte en:

[tex]\[ x + \sqrt{3} \times x = 126 \times \sqrt{3} \][/tex]

Simplificando:

[tex]\[ x (1 + \sqrt{3}) = 126 \times \sqrt{3} \][/tex]

Despejamos [tex]\(x\)[/tex]:

[tex]\[ x = \frac{126 \times \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \][/tex]

7. Cálculo de la Altura [tex]\(h\)[/tex]:

Sabiendo que [tex]\(h = x\)[/tex], solo necesitamos calcular [tex]\(x\)[/tex]:

- Haciendo la evaluación, encontramos que:

[tex]\[ x \approx 79.88 \][/tex]

Por lo tanto, la altura de la torre también será:

[tex]\[ h \approx 79.88 \, \text{m} \][/tex]

Conclusión:

La altura de la torre es aproximadamente [tex]\(79.88\)[/tex] metros.