Vamos a resolver cada ecuación y comprobar la solución paso a paso.
#### 1) [tex]\(2x - 5 = 3x + 10\)[/tex]
Solución:
1. Trasladamos todos los términos con [tex]\( x \)[/tex] al lado izquierdo de la ecuación:
[tex]\[
2x - 5 = 3x + 10 \implies 2x - 3x = 10 + 5
\][/tex]
2. Simplificamos:
[tex]\[
-x = 15
\][/tex]
3. Finalmente, despejamos [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = -15
\][/tex]
Comprobación:
1. Sustituimos [tex]\( x = -15 \)[/tex] en la ecuación original:
[tex]\[
2(-15) - 5 = 3(-15) + 10
\][/tex]
2. Simplificamos ambos lados:
[tex]\[
-30 - 5 = -45 + 10 \implies -35 = -35
\][/tex]
La solución es correcta: [tex]\( x = -15 \)[/tex].
#### 2) [tex]\(\frac{2x}{5} = 8\)[/tex]
Solución:
1. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 5 para eliminar el denominador:
[tex]\[
\frac{2x}{5} \cdot 5 = 8 \cdot 5 \implies 2x = 40
\][/tex]
2. Dividimos ambos lados entre 2 para despejar [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{40}{2} \implies x = 20
\][/tex]
Comprobación:
1. Sustituimos [tex]\( x = 20 \)[/tex] en la ecuación original:
[tex]\[
\frac{2(20)}{5} = 8
\][/tex]
2. Simplificamos:
[tex]\[
\frac{40}{5} = 8 \implies 8 = 8
\][/tex]
La solución es correcta: [tex]\( x = 20 \)[/tex].
#### 3) [tex]\(\frac{2x}{3} + 5 = x\)[/tex]
Solución:
1. Restamos [tex]\( \frac{2x}{3} \)[/tex] de ambos lados de la ecuación:
[tex]\[
\frac{2x}{3} + 5 = x \implies 5 = x - \frac{2x}{3}
\][/tex]
2. Simplificamos el lado derecho de la ecuación:
[tex]\[
5 = \frac{3x - 2x}{3} \implies 5 = \frac{x}{3}
\][/tex]
3. Multiplicamos ambos lados por 3 para despejar [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = 5 \cdot 3 \implies x = 15
\][/tex]
Comprobación:
1. Sustituimos [tex]\( x = 15 \)[/tex] en la ecuación original:
[tex]\[
\frac{2(15)}{3} + 5 = 15
\][/tex]
2. Simplificamos:
[tex]\[
10 + 5 = 15 \implies 15 = 15
\][/tex]
La solución es correcta: [tex]\( x = 15 \)[/tex].
#### 4) [tex]\(\frac{x}{2} + \frac{1}{3}\left(\frac{x}{2}\right) = 120\)[/tex]
Solución:
1. Simplificamos el término [tex]\(\frac{1}{3}\left(\frac{x}{2}\right)\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{x}{2} + \frac{x}{6} = 120
\][/tex]
2. Encuentra el común denominador para sumar las fracciones:
[tex]\[
\frac{3x}{6} + \frac{x}{6} = 120 \implies \frac{4x}{6} = 120 \implies \frac{2x}{3} = 120
\][/tex]
3. Multiplicamos ambos lados por 3 para eliminar el denominador:
[tex]\[
2x = 360
\][/tex]
4. Dividimos ambos lados entre 2 para despejar [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = 180
\][/tex]
Comprobación:
1. Sustituimos [tex]\( x = 180 \)[/tex] en la ecuación original:
[tex]\[
\frac{180}{2} + \frac{1}{3}\left(\frac{180}{2}\right) = 120
\][/tex]
2. Simplificamos:
[tex]\[
90 + \frac{1}{3}(90) = 120 \implies 90 + 30 = 120 \implies 120 = 120
\][/tex]
La solución es correcta: [tex]\( x = 180 \)[/tex].
Con esto, hemos resuelto y comprobado cada ecuación. Las soluciones son [tex]\( x = -15 \)[/tex], [tex]\( x = 20 \)[/tex], [tex]\( x = 15 \)[/tex], y [tex]\( x = 180 \)[/tex].
