Para entender la pregunta y resolverla paso a paso, empezaremos abordando cada parte por separado.
1. Gasto:
La frase dice "Gasté los [tex]$\frac{3}{6}$[/tex] de lo que no gaste". Esto puede interpretarse como que se gastó [tex]$\frac{3}{6}$[/tex] (o [tex]$\frac{1}{2}$[/tex]) del dinero que no fue gastado previamente. Si inicialmente tienes una cantidad de dinero, [tex]\( x \)[/tex], esto se puede descomponer de la siguiente manera:
- La cantidad que no fue gastada es [tex]\( x - \text{(cantidad gastada)} \)[/tex].
- La ecuación nos dice que la cantidad gastada fue, de hecho, [tex]\( \frac{3}{6} \)[/tex] o [tex]\( \frac{1}{2} \)[/tex] de lo no gastado.
Esto se traduce en:
[tex]\[
\text{Cantidad gastada} = \frac{1}{2} \times (x - \text{Cantidad gastada})
\][/tex]
Denotemos la cantidad gastada como [tex]\( y \)[/tex]. Entonces tenemos:
[tex]\[
y = \frac{1}{2} \times (x - y)
\][/tex]
Resolviendo para [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[
y = \frac{1}{2} \times x - \frac{1}{2} \times y
\][/tex]
[tex]\[
y + \frac{1}{2} \times y = \frac{1}{2} \times x
\][/tex]
[tex]\[
\frac{3}{2} \times y = \frac{1}{2} \times x
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{1}{3} \times x
\][/tex]
Por lo tanto, gastamos [tex]\( \frac{1}{3} \)[/tex] de [tex]\( x \)[/tex].
2. Préstamo:
“hoy prestá [tex]$\frac{3}{8}$[/tex] de 10". Esta parte es directa: prestaste [tex]\( \frac{3}{8} \)[/tex] de 10:
[tex]\[
\text{Cantidad prestada} = \frac{3}{8} \times 10 = \frac{30}{8} = 3.75
\][/tex]
3. Cantidad restante:
Ahora, considera que al inicio tienes [tex]\( x \)[/tex]. Ayudando lo que no se gastó, el resto sería:
[tex]\[
\text{Monto no gastado} = x - \frac{1}{3} \times x = \frac{2}{3} \times x
\][/tex]
Luego, al prestarle 3.75:
[tex]\[
\text{Monto final} = \left( \frac{2}{3} \times x \right) - 3.75
\][/tex]
La frase "aun me queda [tex]$\% / 100$[/tex]" parece representar un concepto redundante, así que interpretaremos que la cantidad en términos de [tex]\( x \)[/tex] y la cantidad prestada son suficientes.
Por lo tanto, si inicialmente tuvieras [tex]\( x \)[/tex] unidades de dinero, la cantidad de dinero que tienes al final después de gastar y prestar será:
[tex]\[
\frac{2}{3}x - 3.75
\][/tex]
Si [tex]\( x \)[/tex] es una cantidad específica que necesitas calcular, puedes sustituir valores específicos para [tex]\( x \)[/tex] basado en la situación.
