Claro, vamos a resolver el problema paso a paso:
Problema: El exceso entre los [tex]\( \frac{2}{5} \)[/tex] de un número con respecto a su octava parte equivale a 22. Halla dicho número.
1. Definir el número desconocido: Denotemos el número desconocido por [tex]\( x \)[/tex].
2. Expresar matemáticamente el problema:
- [tex]\( \frac{2}{5} \)[/tex] del número se expresa como [tex]\( \frac{2}{5}x \)[/tex].
- La octava parte del número se expresa como [tex]\( \frac{1}{8}x \)[/tex].
3. Plantear la ecuación: Según el problema, el exceso entre [tex]\( \frac{2}{5} \)[/tex] de un número y su octava parte es 22. Esto se puede formular matemáticamente como:
[tex]\[
\frac{2}{5}x - \frac{1}{8}x = 22
\][/tex]
4. Combinar términos semejantes:
- Llevamos los términos [tex]\( x \)[/tex] a un denominador común para combinar términos semejantes. El mínimo común múltiplo de [tex]\( 5 \)[/tex] y [tex]\( 8 \)[/tex] es [tex]\( 40 \)[/tex].
- Convertimos las fracciones:
[tex]\[
\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{16}{40}
\][/tex]
[tex]\[
\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{5}{40}
\][/tex]
- La ecuación ahora queda:
[tex]\[
\frac{16}{40}x - \frac{5}{40}x = 22
\][/tex]
- Al restar las fracciones se obtiene:
[tex]\[
\frac{16 - 5}{40}x = 22
\][/tex]
[tex]\[
\frac{11}{40}x = 22
\][/tex]
5. Resolver la ecuación para [tex]\( x \)[/tex]:
- Multiplicamos ambos lados por [tex]\( 40 \)[/tex] para despejar [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
11x = 22 \cdot 40
\][/tex]
[tex]\[
11x = 880
\][/tex]
- Luego, dividimos ambos lados por [tex]\( 11 \)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{880}{11}
\][/tex]
[tex]\[
x = 80
\][/tex]
Conclusión: El número buscado es [tex]\( 80 \)[/tex].
