Para encontrar la función [tex]\( f(x) \)[/tex] dadas las condiciones [tex]\( f^{\prime}(x) = 7x + 3 \)[/tex] y [tex]\( f(2) = 25 \)[/tex], podemos seguir los siguientes pasos:
1. Determinar la función [tex]\( f(x) \)[/tex] integrando la derivada dada [tex]\( f^{\prime}(x) \)[/tex].
2. Resolver la constante de integración usando la condición [tex]\( f(2) = 25 \)[/tex].
3. Expresar la función completa [tex]\( f(x) \)[/tex] incorporando la constante encontrada.
### Paso 1: Integrar [tex]\( f^{\prime}(x) \)[/tex]
Sabemos que la derivada de [tex]\( f(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ f^{\prime}(x) = 7x + 3 \][/tex]
Para encontrar [tex]\( f(x) \)[/tex], integramos [tex]\( f^{\prime}(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = \int (7x + 3) \, dx \][/tex]
Realizamos la integración término por término:
[tex]\[ \int (7x) \, dx = \frac{7x^2}{2} \][/tex]
[tex]\[ \int 3 \, dx = 3x \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ f(x) = \frac{7x^2}{2} + 3x + C \][/tex]
donde [tex]\( C \)[/tex] es la constante de integración.
### Paso 2: Usar la condición inicial para determinar [tex]\( C \)[/tex]
Sabemos que [tex]\( f(2) = 25 \)[/tex]. Sustituimos [tex]\( x = 2 \)[/tex] en la función [tex]\( f(x) \)[/tex] y usamos esta condición para resolver [tex]\( C \)[/tex]:
[tex]\[ f(2) = \frac{7(2)^2}{2} + 3(2) + C = 25 \][/tex]
Calculamos los términos:
[tex]\[ \frac{7(2)^2}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = \frac{28}{2} = 14 \][/tex]
[tex]\[ 3(2) = 6 \][/tex]
Sustituimos estos valores en la ecuación:
[tex]\[ 14 + 6 + C = 25 \][/tex]
[tex]\[ 20 + C = 25 \][/tex]
Resolvemos para [tex]\( C \)[/tex]:
[tex]\[ C = 25 - 20 \][/tex]
[tex]\[ C = 5 \][/tex]
### Paso 3: Escribir la función completa [tex]\( f(x) \)[/tex]
Sustituimos la constante [tex]\( C = 5 \)[/tex] en la expresión general de [tex]\( f(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = \frac{7x^2}{2} + 3x + 5 \][/tex]
Por lo tanto, la función [tex]\( f(x) \)[/tex] que cumple con todas las condiciones dadas es:
[tex]\[ f(x) = \frac{7x^2}{2} + 3x + 5 \][/tex]
Esta es la solución final.
