Answer :
तपाईंले बताएको तथ्याङ्कमा हामीले निम्नानुसार मध्यकबाट मध्यक भिन्नता गणना गर्न सक्छौंः
### चरण 1: उत्तरार्धको मध्यमानहरुको गणना गर्नुहोस्।
प्रत्येक वर्ग अन्तरालको मध्यमान यस प्रकारबाट निकालिएको छ:
[tex]\[ \text{Midpoint} = \frac{(lower\ bound + upper\ bound)}{2} \][/tex]
तसर्थ, प्रत्येक वर्ग अन्तरालका मध्यमानहरु निम्नानुसार छन्:
- [tex]\(10-20\)[/tex]: [tex]\(\frac{(10 + 20)}{2} = 15.0\)[/tex]
- [tex]\(20-30\)[/tex]: [tex]\(\frac{(20 + 30)}{2} = 25.0\)[/tex]
- [tex]\(30-40\)[/tex]: [tex]\(\frac{(30 + 40)}{2} = 35.0\)[/tex]
- [tex]\(40-50\)[/tex]: [tex]\(\frac{(40 + 50)}{2} = 45.0\)[/tex]
- [tex]\(50-60\)[/tex]: [tex]\(\frac{(50 + 60)}{2} = 55.0\)[/tex]
### चरण 2: आवृत्तिहरुको समुहगत गन्ती गर्नुहोस्।
आवृत्तिहरु (frequencies) क्रमशः नैसर्गिक रूपबाट दिइयका छन्:
[tex]\[ f = [5, 4, 5, 4, 2] \][/tex]
### चरण 3: परसम ग्राहिता गणना गर्नुहोस्।
कूल आवृत्ति ([tex]\( n \)[/tex]) सबै आवृत्तिहरुको योगफल हो:
[tex]\[ n = 5 + 4 + 5 + 4 + 2 = 20 \][/tex]
परसम ग्राहिता (cumulative frequency, [tex]\( F \)[/tex]) प्रत्येक अन्तरालको लागि गणना गरिन्छ:
[tex]\[ \begin{align*} F_1 &= 5 \\ F_2 &= 5 + 4 = 9 \\ F_3 &= 9 + 5 = 14 \\ F_4 &= 14 + 4 = 18 \\ F_5 &= 18 + 2 = 20 \\ \end{align*} \][/tex]
### चरण 4: मध्यक वर्ग निर्धारण गर्नुहोस्।
मध्यक वर्ग (median class) निर्धारण गर्न हामीले [tex]\( n/2 \)[/tex] लाई पार गर्नु पर्ने आवृत्तिको खोजी गर्नुपर्छ। [tex]\( n/2 = 20/2 = 10 \)[/tex] हो। तसर्थ, परसम ग्राहिता [tex]\( 10 \)[/tex] लाई पहिलो पटक पार गरेको वर्ग [tex]\(30-40\)[/tex] हो।
### चरण 5: मध्यकको गणना गर्नुहोस्।
मध्यक वर्गको तल्लो सीमा [tex]\( L \)[/tex], वर्ग चौडाई [tex]\( h \)[/tex], मध्यक वर्गको आवृत्ति [tex]\( f_m \)[/tex] र पूर्व मध्यक वर्गको परसम ग्राहिता [tex]\( F \)[/tex] यस प्रकार छन्:
[tex]\[ \begin{align*} L & = 30 \text{ (मध्यक वर्गको तल्लो सीमा)} \\ h & = 10 \text{ (अन्तराल)} \\ f_m & = 5 \text{ (मध्यक वर्गको आवृत्ति)} \\ F & = 9 \text{ (मध्यक वर्गभन्दा पहिलेका वर्गको परसम ग्राहिता)} \end{align*} \][/tex]
मध्यकको गणना सूत्र:
[tex]\[ \text{Median} = L + \frac{(n/2 - F)}{f_m} \times h \][/tex]
उसरी गणना गर्दा:
[tex]\[ \text{Median} = 30 + \left(\frac{10 - 9}{5}\right) \times 10 = 30 + \left(\frac{1}{5}\right) \times 10 = 30 + 2 = 32.0 \][/tex]
### चरण ६: मध्यकबाट मध्यक भिन्नता गणना गर्नुहोस्।
मध्यकबाट मध्यक भिन्नता गणना सूत्र:
[tex]\[ \text{Mean Deviation} = \frac{\sum f \cdot |x - \text{Median}|}{n} \][/tex]
तसर्थ:
[tex]\[ \begin{align*} \text{Mean Deviation} &= \frac{5 \cdot |15.0 - 32.0| + 4 \cdot |25.0 - 32.0| + 5 \cdot |35.0 - 32.0| + 4 \cdot |45.0 - 32.0| + 2 \cdot |55.0 - 32.0|}{20} \\ &= \frac{5 \cdot 17.0 + 4 \cdot 7.0 + 5 \cdot 3.0 + 4 \cdot 13.0 + 2 \cdot 23.0}{20} \\ &= \frac{85.0 + 28.0 + 15.0 + 52.0 + 46.0}{20} \\ &= \frac{226}{20} \\ &= 11.3 \end{align*} \][/tex]
सामान्यतः, यी तथ्यहरु समृद्ध पश्चात, हामीले निम्न चरणको माध्यमबाट मध्यकबाट मध्यक भिन्नता [tex]\(11.3\)[/tex] गणना गर्न सकेका छौं।
### चरण 1: उत्तरार्धको मध्यमानहरुको गणना गर्नुहोस्।
प्रत्येक वर्ग अन्तरालको मध्यमान यस प्रकारबाट निकालिएको छ:
[tex]\[ \text{Midpoint} = \frac{(lower\ bound + upper\ bound)}{2} \][/tex]
तसर्थ, प्रत्येक वर्ग अन्तरालका मध्यमानहरु निम्नानुसार छन्:
- [tex]\(10-20\)[/tex]: [tex]\(\frac{(10 + 20)}{2} = 15.0\)[/tex]
- [tex]\(20-30\)[/tex]: [tex]\(\frac{(20 + 30)}{2} = 25.0\)[/tex]
- [tex]\(30-40\)[/tex]: [tex]\(\frac{(30 + 40)}{2} = 35.0\)[/tex]
- [tex]\(40-50\)[/tex]: [tex]\(\frac{(40 + 50)}{2} = 45.0\)[/tex]
- [tex]\(50-60\)[/tex]: [tex]\(\frac{(50 + 60)}{2} = 55.0\)[/tex]
### चरण 2: आवृत्तिहरुको समुहगत गन्ती गर्नुहोस्।
आवृत्तिहरु (frequencies) क्रमशः नैसर्गिक रूपबाट दिइयका छन्:
[tex]\[ f = [5, 4, 5, 4, 2] \][/tex]
### चरण 3: परसम ग्राहिता गणना गर्नुहोस्।
कूल आवृत्ति ([tex]\( n \)[/tex]) सबै आवृत्तिहरुको योगफल हो:
[tex]\[ n = 5 + 4 + 5 + 4 + 2 = 20 \][/tex]
परसम ग्राहिता (cumulative frequency, [tex]\( F \)[/tex]) प्रत्येक अन्तरालको लागि गणना गरिन्छ:
[tex]\[ \begin{align*} F_1 &= 5 \\ F_2 &= 5 + 4 = 9 \\ F_3 &= 9 + 5 = 14 \\ F_4 &= 14 + 4 = 18 \\ F_5 &= 18 + 2 = 20 \\ \end{align*} \][/tex]
### चरण 4: मध्यक वर्ग निर्धारण गर्नुहोस्।
मध्यक वर्ग (median class) निर्धारण गर्न हामीले [tex]\( n/2 \)[/tex] लाई पार गर्नु पर्ने आवृत्तिको खोजी गर्नुपर्छ। [tex]\( n/2 = 20/2 = 10 \)[/tex] हो। तसर्थ, परसम ग्राहिता [tex]\( 10 \)[/tex] लाई पहिलो पटक पार गरेको वर्ग [tex]\(30-40\)[/tex] हो।
### चरण 5: मध्यकको गणना गर्नुहोस्।
मध्यक वर्गको तल्लो सीमा [tex]\( L \)[/tex], वर्ग चौडाई [tex]\( h \)[/tex], मध्यक वर्गको आवृत्ति [tex]\( f_m \)[/tex] र पूर्व मध्यक वर्गको परसम ग्राहिता [tex]\( F \)[/tex] यस प्रकार छन्:
[tex]\[ \begin{align*} L & = 30 \text{ (मध्यक वर्गको तल्लो सीमा)} \\ h & = 10 \text{ (अन्तराल)} \\ f_m & = 5 \text{ (मध्यक वर्गको आवृत्ति)} \\ F & = 9 \text{ (मध्यक वर्गभन्दा पहिलेका वर्गको परसम ग्राहिता)} \end{align*} \][/tex]
मध्यकको गणना सूत्र:
[tex]\[ \text{Median} = L + \frac{(n/2 - F)}{f_m} \times h \][/tex]
उसरी गणना गर्दा:
[tex]\[ \text{Median} = 30 + \left(\frac{10 - 9}{5}\right) \times 10 = 30 + \left(\frac{1}{5}\right) \times 10 = 30 + 2 = 32.0 \][/tex]
### चरण ६: मध्यकबाट मध्यक भिन्नता गणना गर्नुहोस्।
मध्यकबाट मध्यक भिन्नता गणना सूत्र:
[tex]\[ \text{Mean Deviation} = \frac{\sum f \cdot |x - \text{Median}|}{n} \][/tex]
तसर्थ:
[tex]\[ \begin{align*} \text{Mean Deviation} &= \frac{5 \cdot |15.0 - 32.0| + 4 \cdot |25.0 - 32.0| + 5 \cdot |35.0 - 32.0| + 4 \cdot |45.0 - 32.0| + 2 \cdot |55.0 - 32.0|}{20} \\ &= \frac{5 \cdot 17.0 + 4 \cdot 7.0 + 5 \cdot 3.0 + 4 \cdot 13.0 + 2 \cdot 23.0}{20} \\ &= \frac{85.0 + 28.0 + 15.0 + 52.0 + 46.0}{20} \\ &= \frac{226}{20} \\ &= 11.3 \end{align*} \][/tex]
सामान्यतः, यी तथ्यहरु समृद्ध पश्चात, हामीले निम्न चरणको माध्यमबाट मध्यकबाट मध्यक भिन्नता [tex]\(11.3\)[/tex] गणना गर्न सकेका छौं।
