Para encontrar la función [tex]\( f(x) \)[/tex] a partir de su derivada [tex]\( f'(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \)[/tex] y la condición [tex]\( f(9) = 10 \)[/tex], debemos seguir estos pasos:
1. Integrar la función [tex]\( f'(x) \)[/tex] para encontrar [tex]\( f(x) \)[/tex]:
Integrar [tex]\( f'(x) \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex].
[tex]\[
\int \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) dx
\][/tex]
2. Descomponer la integral y resolver cada parte por separado:
[tex]\[
\int \sqrt{x} \, dx - \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx
\][/tex]
Primera Integral:
[tex]\[
\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx
\][/tex]
Aplicamos la fórmula de la integral de potencias:
[tex]\[
\int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
\][/tex]
Entonces:
[tex]\[
\int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}
\][/tex]
Segunda Integral:
[tex]\[
\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int x^{-1/2} \, dx
\][/tex]
Aplicando la misma fórmula de la integral de potencias:
[tex]\[
\int x^{-1/2} \, dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2 x^{1/2}
\][/tex]
3. Combinar los resultados de las integrales:
[tex]\[
f(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} - 2 x^{1/2} + C
\][/tex]
Donde [tex]\( C \)[/tex] es la constante de integración.
4. Utilizar la condición inicial [tex]\( f(9) = 10 \)[/tex] para determinar [tex]\( C \)[/tex]:
[tex]\[
f(9) = \frac{2}{3} (9)^{3/2} - 2 (9)^{1/2} + C = 10
\][/tex]
Primero, calculamos los términos:
[tex]\[
(9)^{3/2} = (9)^{1}\cdot(9)^{1/2} = 9 \cdot 3 = 27
\][/tex]
[tex]\[
(9)^{1/2} = 3
\][/tex]
Sustituyendo estos valores:
[tex]\[
f(9) = \frac{2}{3} \cdot 27 - 2 \cdot 3 + C = 10
\][/tex]
Simplificando:
[tex]\[
f(9) = 18 - 6 + C = 10
\][/tex]
[tex]\[
12 + C = 10
\][/tex]
[tex]\[
C = 10 - 12 = -2
\][/tex]
5. Sustituir [tex]\( C \)[/tex] de vuelta en la función:
[tex]\[
f(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} - 2 x^{1/2} - 2
\][/tex]
Por lo tanto, la función [tex]\( f(x) \)[/tex] es:
[tex]\[
f(x) = \frac{2}{3} x^{3/2} - 2 \sqrt{x} - 2
\][/tex]
