Para resolver el problema de determinar en cuánto tiempo un objeto lanzado verticalmente hacia arriba alcanza una altura de 48 pies, utilizamos la ecuación del movimiento bajo la influencia de la gravedad. Esta ecuación se expresa como:
[tex]\[ h = v_0 \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \][/tex]
donde:
- [tex]\( h \)[/tex] es la altura alcanzada (48 pies en este caso),
- [tex]\( v_0 \)[/tex] es la velocidad inicial (64 pies/s en este caso),
- [tex]\( g \)[/tex] es la aceleración debida a la gravedad (32 pies/s² en este caso),
- [tex]\( t \)[/tex] es el tiempo que queremos encontrar.
Sustituyendo los valores dados en la ecuación tenemos:
[tex]\[ 48 = 64 \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot t^2 \][/tex]
Simplificamos la ecuación:
[tex]\[ 48 = 64 \cdot t - 16 \cdot t^2 \][/tex]
Reorganizamos los términos para formar una ecuación cuadrática de la forma [tex]\( a t^2 + b t + c = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 16 t^2 - 64 t + 48 = 0 \][/tex]
Para resolver esta ecuación cuadrática, podemos utilizar la fórmula general para soluciones de ecuaciones cuadráticas:
[tex]\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
En nuestra ecuación, [tex]\( a = 16 \)[/tex], [tex]\( b = -64 \)[/tex] y [tex]\( c = 48 \)[/tex]. Sustituimos estos valores en la fórmula:
[tex]\[ t = \frac{-(-64) \pm \sqrt{(-64)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 48}}{2 \cdot 16} \][/tex]
[tex]\[ t = \frac{64 \pm \sqrt{4096 - 3072}}{32} \][/tex]
[tex]\[ t = \frac{64 \pm \sqrt{1024}}{32} \][/tex]
[tex]\[ t = \frac{64 \pm 32}{32} \][/tex]
Esto nos da dos posibles soluciones:
[tex]\[ t_1 = \frac{64 + 32}{32} = \frac{96}{32} = 3 \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{64 - 32}{32} = \frac{32}{32} = 1 \][/tex]
Por lo tanto, el objeto alcanzará una altura de 48 pies en dos momentos de tiempo diferentes: [tex]\( t = 1 \)[/tex] y [tex]\( t = 3 \)[/tex] segundos.
Las opciones dadas en la pregunta son:
a) 2
b) 1,3
c) 3,5
d) 1
De las opciones proporcionadas, las respuestas correctas son [tex]\( t = 1 \)[/tex] y [tex]\( t = 3 \)[/tex]. Así que la respuesta correcta es la opción d) 1, ya que es una de las soluciones.
