### (a) Menentukan Nilai [tex]\( t \)[/tex]
Fungsi [tex]\( g(x) = \frac{2}{3 + 2x} \)[/tex] didefinisikan untuk semua [tex]\( x \)[/tex] kecuali di mana penyebutnya nol. Oleh karena itu, kita perlu mencari [tex]\( x \)[/tex] yang menyebabkan penyebutnya nol.
Penyebut fungsi [tex]\( g(x) \)[/tex] adalah [tex]\( 3 + 2x \)[/tex]. Agar penyebut ini nol, kita menyelesaikan persamaan:
[tex]\[
3 + 2x = 0
\][/tex]
Menyelesaikan persamaan ini untuk [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
2x = -3\\
x = -\frac{3}{2}
\][/tex]
Jadi, [tex]\( t \)[/tex] adalah [tex]\( -\frac{3}{2} \)[/tex].
### (b) Menentukan [tex]\( x \)[/tex] yang Memetakan ke Dirinya Sendiri
Untuk mencari [tex]\( x \)[/tex] yang memetakan ke dirinya sendiri di bawah fungsi [tex]\( g \)[/tex], kita harus mencari nilai [tex]\( x \)[/tex] yang memenuhi persamaan:
[tex]\[
g(x) = x
\][/tex]
Dari definisi fungsi [tex]\( g \)[/tex], ini berarti:
[tex]\[
\frac{2}{3 + 2x} = x
\][/tex]
Kita menyelesaikan persamaan ini dengan mengalikan kedua sisi dengan [tex]\( 3 + 2x \)[/tex] untuk menghilangkan penyebutnya:
[tex]\[
2 = x(3 + 2x)
\][/tex]
Ini menghasilkan persamaan kuadrat:
[tex]\[
2 = 3x + 2x^2\\
2x^2 + 3x - 2 = 0
\][/tex]
Kita menyelesaikan persamaan kuadrat ini menggunakan rumus kuadrat [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\][/tex]
Di sini, [tex]\( a = 2 \)[/tex], [tex]\( b = 3 \)[/tex], dan [tex]\( c = -2 \)[/tex]. Maka:
[tex]\[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2}\\
x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}\\
x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4}\\
x = \frac{-3 \pm 5}{4}
\][/tex]
Ini memberi kita dua solusi:
[tex]\[
x = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\\
x = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2
\][/tex]
Jadi, nilai-nilai [tex]\( x \)[/tex] yang mungkin adalah [tex]\( \frac{1}{2} \)[/tex] dan [tex]\( -2 \)[/tex].
### (c) Menentukan Nilai [tex]\( h \)[/tex] dengan [tex]\( g(h-3) = h \)[/tex]
Untuk mencari nilai [tex]\( h \)[/tex] yang memenuhi [tex]\( g(h-3) = h \)[/tex], kita substitusi [tex]\( h-3 \)[/tex] ke dalam fungsi [tex]\( g \)[/tex]:
[tex]\[
g(h-3) = \frac{2}{3 + 2(h-3)} = h
\][/tex]
Menyederhanakan ekspresi dalam penyebut kita dapatkan:
[tex]\[
\frac{2}{3 + 2h - 6} = h\\
\frac{2}{2h - 3} = h
\][/tex]
Mengalikan kedua sisi dengan [tex]\( 2h - 3 \)[/tex] untuk menghilangkan penyebut:
[tex]\[
2 = h(2h - 3)\\
2 = 2h^2 - 3h
\][/tex]
Menyusun ulang menjadi persamaan kuadrat:
[tex]\[
2h^2 - 3h - 2 = 0
\][/tex]
Kita selesaikan persamaan ini dengan rumus kuadrat:
[tex]\[
h = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\][/tex]
Di sini, [tex]\( a = 2 \)[/tex], [tex]\( b = -3 \)[/tex], dan [tex]\( c = -2 \)[/tex]. Maka:
[tex]\[
h = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2}\\
h = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}\\
h = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}\\
h = \frac{3 \pm 5}{4}
\][/tex]
Ini memberi kita dua solusi:
[tex]\[
h = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2\\
h = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
\][/tex]
Jadi, nilai-nilai [tex]\( h \)[/tex] yang mungkin adalah [tex]\( 2 \)[/tex] dan [tex]\( -\frac{1}{2} \)[/tex].
