Para resolver el sistema de ecuaciones por el método de reducción (suma y resta), seguimos los siguientes pasos:
1. Escribir el sistema de ecuaciones:
[tex]\[
\begin{aligned}
2x + 5y &= 19 \quad \text{(Ecuación 1)} \\
3x - 4y &= 6 \quad \text{(Ecuación 2)}
\end{aligned}
\][/tex]
2. Multiplicar las ecuaciones para igualar los coeficientes de uno de los términos.
Decidimos eliminar el término [tex]\( y \)[/tex]. Para esto, multiplicamos la primera ecuación por 4 y la segunda ecuación por 5, para hacer que los coeficientes de [tex]\( y \)[/tex] sean opuestos.
[tex]\[
\begin{aligned}
4 \cdot (2x + 5y) &= 4 \cdot 19 \\
5 \cdot (3x - 4y) &= 5 \cdot 6
\end{aligned}
\][/tex]
Al realizar estas multiplicaciones, obtenemos:
[tex]\[
\begin{aligned}
8x + 20y &= 76 \quad \text{(Ecuación 3)} \\
15x - 20y &= 30 \quad \text{(Ecuación 4)}
\end{aligned}
\][/tex]
3. Sumar las ecuaciones (Ecuación 3 y Ecuación 4) para eliminar [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[
\begin{aligned}
(8x + 20y) + (15x - 20y) &= 76 + 30 \\
8x + 15x &= 106 \\
23x &= 106 \\
x &= \frac{106}{23}
\end{aligned}
\][/tex]
Por lo tanto, tenemos que [tex]\( x = \frac{106}{23} \)[/tex].
4. Sustituir [tex]\( x \)[/tex] en una de las ecuaciones originales para encontrar [tex]\( y \)[/tex]. Vamos a usar la Ecuación 1:
[tex]\[
\begin{aligned}
2x + 5y &= 19 \\
2 \left(\frac{106}{23}\right) + 5y &= 19 \\
\frac{212}{23} + 5y &= 19
\end{aligned}
\][/tex]
5. Resolver para [tex]\( y \)[/tex]:
Primero, restamos [tex]\( \frac{212}{23} \)[/tex] del lado derecho:
[tex]\[
5y = 19 - \frac{212}{23}
\][/tex]
Convertimos 19 a una fracción con el mismo denominador:
[tex]\[
19 = \frac{437}{23} \quad \text{(porque \( 19 \times 23 = 437 \))}
\][/tex]
Así que tenemos:
[tex]\[
5y = \frac{437}{23} - \frac{212}{23}
\][/tex]
Simplificamos la fracción:
[tex]\[
5y = \frac{437 - 212}{23} = \frac{225}{23}
\][/tex]
Dividimos ambos lados por 5:
[tex]\[
y = \frac{225}{23 \cdot 5} = \frac{225}{115} = \frac{45}{23}
\][/tex]
Por lo tanto, [tex]\( y = \frac{45}{23} \)[/tex].
6. Solución final:
Las soluciones son [tex]\( x = \frac{106}{23} \)[/tex] y [tex]\( y = \frac{45}{23} \)[/tex].
