हमारे पास बहुपद [tex]\(4x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 8x + 5a\)[/tex] है और हमें यह ज्ञात है कि [tex]\((x + 2)\)[/tex] इसका एक गुणनखण्ड है। गुणनखण्ड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार, यदि किसी बहुपद [tex]\(P(x)\)[/tex] का [tex]\((x + c)\)[/tex] गुणनखण्ड है, तो [tex]\(P(-c) = 0\)[/tex].
इस सेटिंग में हमें [tex]\(c = 2\)[/tex] दी हुई है, इसका मतलब [tex]\((x + 2)\)[/tex] गुणनखण्ड है, तो हमें [tex]\(x = -2\)[/tex] को बहुपद में प्रतिस्थापित करके उसे शून्य मान पर स्थापित करना होगा।
तो चलिए [tex]\(x = -2\)[/tex] को बहुपद [tex]\(4x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 8x + 5a\)[/tex] में प्रतिस्थापित करते हैं:
[tex]\[ P(-2) = 4(-2)^4 + 2(-2)^3 - 3(-2)^2 + 8(-2) + 5a \][/tex]
अब इन संख्याओं का मान निकालते हैं:
[tex]\[ (-2)^4 = 16 \][/tex]
[tex]\[ 4 \times 16 = 64 \][/tex]
[tex]\[ (-2)^3 = -8 \][/tex]
[tex]\[ 2 \times -8 = -16 \][/tex]
[tex]\[ (-2)^2 = 4 \][/tex]
[tex]\[ -3 \times 4 = -12 \][/tex]
[tex]\[ 8 \times -2 = -16 \][/tex]
इन सभी का बहुपद में प्रतिस्थापान करने पर:
[tex]\[ P(-2) = 64 - 16 - 12 - 16 + 5a \][/tex]
[tex]\[ P(-2) = 20 + 5a \][/tex]
क्योंकि [tex]\(x = -2\)[/tex] एक गुणनखण्ड होने के कारण [tex]\(P(-2) = 0\)[/tex], हमें इसे 0 पर स्थापित करना होगा:
[tex]\[ 20 + 5a = 0 \][/tex]
अब ‘a’ के मान के लिए इस समीकरण को हल करते हैं:
[tex]\[ 5a = -20 \][/tex]
[tex]\[ a = -4 \][/tex]
इस प्रकार, [tex]\(a\)[/tex] का मान [tex]\( -4 \)[/tex] है।
