Para simplificar la expresión [tex]\(\sqrt[3]{64 x^3 y^7}\)[/tex], vamos a proceder paso a paso.
### Paso 1: Expresar todo dentro del radical en términos de potencias que permitan simplificación.
La expresión original es:
[tex]\[
\sqrt[3]{64 x^3 y^7}
\][/tex]
### Paso 2: Separar los componentes dentro del radical.
Podemos separar el 64, [tex]\( x^3 \)[/tex] y [tex]\( y^7 \)[/tex] de la siguiente forma:
[tex]\[
\sqrt[3]{64 x^3 y^7} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{y^7}
\][/tex]
### Paso 3: Calcular la raíz cúbica de cada componente individualmente.
1. Raíz cúbica de 64:
[tex]\[
\sqrt[3]{64} = 4, \quad \text{pues } 4^3 = 64
\][/tex]
2. Raíz cúbica de [tex]\( x^3 \)[/tex]:
[tex]\[
\sqrt[3]{x^3} = x, \quad \text{ya que } (x^3)^{1/3} = x^{3/3} = x
\][/tex]
3. Raíz cúbica de [tex]\( y^7 \)[/tex]:
[tex]\[
\sqrt[3]{y^7} = y^{7/3}, \quad \text{porque la propiedad de exponente dice que } y^7 = (y^7)^{1/3} = y^{7 \cdot \frac{1}{3}} = y^{7/3}
\][/tex]
### Paso 4: Combinar las partes simplificadas.
Combinando los resultados obtenidos, tenemos:
[tex]\[
4 \cdot x \cdot y^{7/3}
\][/tex]
### Paso 5: Expresar el resultado final de manera ordenada.
La forma simplificada de la expresión es:
[tex]\[
4(x^3y^7)^{1/3}
\][/tex]
Esto se expresa también como:
[tex]\[
4 \cdot (x^3 y^7)^{\frac{1}{3}}
\][/tex]
Por lo tanto, el resultado simplificado de la expresión [tex]\(\sqrt[3]{64 x^3 y^7}\)[/tex] es:
[tex]\[
4 \cdot (x^3 y^7)^{\frac{1}{3}}
\][/tex]
