Para resolver essa questão, vamos utilizar algumas equações baseadas nas informações fornecidas e encontrar quantos pastéis Isabela possuía inicialmente.
1. Variáveis:
- Vamos chamar a quantidade inicial de pastéis de Isabela de [tex]\( xi \)[/tex].
- Vamos chamar a quantidade inicial de pastéis de Ana de [tex]\( xa \)[/tex].
2. Equação do total de pastéis:
- Juntas, elas tinham 460 pastéis, então:
[tex]\[
xi + xa = 460
\][/tex]
3. Equação dos pastéis vendidos por Isabela:
- Isabela vendeu [tex]\(\frac{3}{5}\)[/tex] dos pastéis que ela tinha inicialmente. Então, a quantidade de pastéis que ela vendeu é:
[tex]\[
\text{vendido\_isabela} = \frac{3}{5} xi
\][/tex]
4. Equação dos pastéis vendidos por Ana:
- Ana vendeu [tex]\(\frac{5}{8}\)[/tex] dos pastéis que ela tinha inicialmente. Então, a quantidade de pastéis que ela vendeu é:
[tex]\[
\text{vendido\_ana} = \frac{5}{8} xa
\][/tex]
5. Quantidade de pastéis restantes:
- A quantidade de pastéis que restou para Isabela:
[tex]\[
\text{restante\_isabela} = xi - \frac{3}{5} xi = \frac{2}{5} xi
\][/tex]
- A quantidade de pastéis que restou para Ana:
[tex]\[
\text{restante\_ana} = xa - \frac{5}{8} xa = \frac{3}{8} xa
\][/tex]
6. Relação entre os pastéis restantes:
- Ao final do dia, o número de pastéis que restou para Ana era a metade do número de pastéis que restou para Isabela. Então:
[tex]\[
\text{restante\_ana} = \frac{1}{2} \text{restante\_isabela}
\][/tex]
Substituindo as expressões dos pastéis restantes nesta relação, temos:
[tex]\[
\frac{3}{8} xa = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5} xi \right)
\][/tex]
Simplificando a equação:
[tex]\[
\frac{3}{8} xa = \frac{1}{5} xi
\][/tex]
Multiplicando ambos os lados por 40 para eliminar os denominadores:
[tex]\[
15 xa = 8 xi
\][/tex]
[tex]\[
xa = \frac{8}{15} xi
\][/tex]
7. Resolvendo o sistema de equações:
- Substituímos [tex]\( xa = \frac{8}{15} xi \)[/tex] na primeira equação [tex]\( xi + xa = 460 \)[/tex]:
[tex]\[
xi + \frac{8}{15} xi = 460
\][/tex]
[tex]\[
xi \left(1 + \frac{8}{15}\right) = 460
\][/tex]
Simplificando a expressão no parêntese:
[tex]\[
xi \left(\frac{15}{15} + \frac{8}{15}\right) = 460
\][/tex]
[tex]\[
xi \left(\frac{23}{15}\right) = 460
\][/tex]
Multiplicando ambos os lados pela fração inversa [tex]\(\frac{15}{23}\)[/tex]:
[tex]\[
xi = 460 \times \frac{15}{23}
\][/tex]
[tex]\[
xi = 300
\][/tex]
Portanto, Isabela possuía inicialmente 300 pastéis.
