Answer :
Para resolver estos problemas, primero identificamos el tipo de trinomio en cada caso y luego aplicamos las reglas de factorización correspondientes.
### a) [tex]\(x^2 + 4x + 3\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = 4 \)[/tex], y [tex]\( c = 3 \)[/tex]. Para factorizarlo, encontramos dos números que sumen [tex]\( b = 4 \)[/tex] y multipliquen [tex]\( c = 3 \)[/tex]. Esos números son 1 y 3.
Entonces, [tex]\( x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \)[/tex].
### b) [tex]\(10x^2 - 13x - 3\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 10 \)[/tex], [tex]\( b = -13 \)[/tex], y [tex]\( c = -3 \)[/tex]. Buscamos dos números que sumen [tex]\( b = -13 \)[/tex] y cuya multiplicación sea [tex]\( a \cdot c = -30 \)[/tex]. Esos números son -15 y 2.
Entonces, [tex]\( 10x^2 - 13x - 3 = (2x - 3)(5x + 1) \)[/tex].
### c) [tex]\(h^2 + 27h + 50\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = 27 \)[/tex], y [tex]\( c = 50 \)[/tex]. Buscamos dos números que sumen [tex]\( b = 27 \)[/tex] y cuya multiplicación sea [tex]\( c = 50 \)[/tex]. Esos números son 2 y 25.
Entonces, [tex]\( h^2 + 27h + 50 = (h + 2)(h + 25) \)[/tex].
### d) [tex]\(6x^2 + 11x - 10\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 6 \)[/tex], [tex]\( b = 11 \)[/tex], y [tex]\( c = -10 \)[/tex]. Buscamos dos números que sumen [tex]\( b = 11 \)[/tex] y cuya multiplicación sea [tex]\( a \cdot c = -60 \)[/tex]. Esos números son 15 y -4.
Entonces, [tex]\( 6x^2 + 11x - 10 = (2x + 5)(3x - 2) \)[/tex].
### e) [tex]\(5x^2 - 13x - 6\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 5 \)[/tex], [tex]\( b = -13 \)[/tex], y [tex]\( c = -6 \)[/tex]. Buscamos dos números que sumen [tex]\( b = -13 \)[/tex] y cuya multiplicación sea [tex]\( a \cdot c = -30 \)[/tex]. Esos números son -15 y 2.
Entonces, [tex]\( 5x^2 - 13x - 6 = (x - 3)(5x + 2) \)[/tex].
### f) [tex]\(b^2 + 8b + 15\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = 8 \)[/tex], y [tex]\( c = 15 \)[/tex]. Buscamos dos números que sumen [tex]\( b = 8 \)[/tex] y cuya multiplicación sea [tex]\( c = 15 \)[/tex]. Esos números son 3 y 5.
Entonces, [tex]\( b^2 + 8b + 15 = (b + 3)(b + 5) \)[/tex].
### g) [tex]\(25m^4 - 60m^2n^3 + 36n^6\)[/tex]
Esta expresión puede ser vista como un trinomio cuadrado perfecto. De una forma más general, reconocemos que es el cuadrado de una diferencia.
Entonces, [tex]\( 25m^4 - 60m^2n^3 + 36n^6 = (5m^2 - 6n^3)^2 \)[/tex].
### h) [tex]\(3x^2 - 7x - 6\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 3 \)[/tex], [tex]\( b = -7 \)[/tex], y [tex]\( c = -6 \)[/tex]. Buscamos dos números que sumen [tex]\( b = -7 \)[/tex] y cuya multiplicación sea [tex]\( a \cdot c = -18 \)[/tex]. Esos números son -9 y 2.
Entonces, [tex]\( 3x^2 - 7x - 6 = (x - 3)(3x + 2) \)[/tex].
### i) [tex]\(4q^2 + 4q + 1\)[/tex]
Este es un trinomio cuadrado perfecto. Podemos escribirlo como el cuadrado de un binomio.
Entonces, [tex]\( 4q^2 + 4q + 1 = (2q + 1)^2 \)[/tex].
### j) [tex]\(7x^2 - 15x + 2\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 7 \)[/tex], [tex]\( b = -15 \)[/tex], y [tex]\( c = 2 \)[/tex]. Buscamos dos números que sumen [tex]\( b = -15 \)[/tex] y cuya multiplicación sea [tex]\( a \cdot c = 14 \)[/tex]. Esos números son -1 y -14.
Entonces, [tex]\( 7x^2 - 15x + 2 = (x - 2)(7x - 1) \)[/tex].
Cada uno de estos trinomios ha sido identificado por su forma y factorizado utilizando las reglas adecuadas de factorización. Esto concluye la identificación y resolución de los trinomios dados.
### a) [tex]\(x^2 + 4x + 3\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = 4 \)[/tex], y [tex]\( c = 3 \)[/tex]. Para factorizarlo, encontramos dos números que sumen [tex]\( b = 4 \)[/tex] y multipliquen [tex]\( c = 3 \)[/tex]. Esos números son 1 y 3.
Entonces, [tex]\( x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) \)[/tex].
### b) [tex]\(10x^2 - 13x - 3\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 10 \)[/tex], [tex]\( b = -13 \)[/tex], y [tex]\( c = -3 \)[/tex]. Buscamos dos números que sumen [tex]\( b = -13 \)[/tex] y cuya multiplicación sea [tex]\( a \cdot c = -30 \)[/tex]. Esos números son -15 y 2.
Entonces, [tex]\( 10x^2 - 13x - 3 = (2x - 3)(5x + 1) \)[/tex].
### c) [tex]\(h^2 + 27h + 50\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = 27 \)[/tex], y [tex]\( c = 50 \)[/tex]. Buscamos dos números que sumen [tex]\( b = 27 \)[/tex] y cuya multiplicación sea [tex]\( c = 50 \)[/tex]. Esos números son 2 y 25.
Entonces, [tex]\( h^2 + 27h + 50 = (h + 2)(h + 25) \)[/tex].
### d) [tex]\(6x^2 + 11x - 10\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 6 \)[/tex], [tex]\( b = 11 \)[/tex], y [tex]\( c = -10 \)[/tex]. Buscamos dos números que sumen [tex]\( b = 11 \)[/tex] y cuya multiplicación sea [tex]\( a \cdot c = -60 \)[/tex]. Esos números son 15 y -4.
Entonces, [tex]\( 6x^2 + 11x - 10 = (2x + 5)(3x - 2) \)[/tex].
### e) [tex]\(5x^2 - 13x - 6\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 5 \)[/tex], [tex]\( b = -13 \)[/tex], y [tex]\( c = -6 \)[/tex]. Buscamos dos números que sumen [tex]\( b = -13 \)[/tex] y cuya multiplicación sea [tex]\( a \cdot c = -30 \)[/tex]. Esos números son -15 y 2.
Entonces, [tex]\( 5x^2 - 13x - 6 = (x - 3)(5x + 2) \)[/tex].
### f) [tex]\(b^2 + 8b + 15\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = 8 \)[/tex], y [tex]\( c = 15 \)[/tex]. Buscamos dos números que sumen [tex]\( b = 8 \)[/tex] y cuya multiplicación sea [tex]\( c = 15 \)[/tex]. Esos números son 3 y 5.
Entonces, [tex]\( b^2 + 8b + 15 = (b + 3)(b + 5) \)[/tex].
### g) [tex]\(25m^4 - 60m^2n^3 + 36n^6\)[/tex]
Esta expresión puede ser vista como un trinomio cuadrado perfecto. De una forma más general, reconocemos que es el cuadrado de una diferencia.
Entonces, [tex]\( 25m^4 - 60m^2n^3 + 36n^6 = (5m^2 - 6n^3)^2 \)[/tex].
### h) [tex]\(3x^2 - 7x - 6\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 3 \)[/tex], [tex]\( b = -7 \)[/tex], y [tex]\( c = -6 \)[/tex]. Buscamos dos números que sumen [tex]\( b = -7 \)[/tex] y cuya multiplicación sea [tex]\( a \cdot c = -18 \)[/tex]. Esos números son -9 y 2.
Entonces, [tex]\( 3x^2 - 7x - 6 = (x - 3)(3x + 2) \)[/tex].
### i) [tex]\(4q^2 + 4q + 1\)[/tex]
Este es un trinomio cuadrado perfecto. Podemos escribirlo como el cuadrado de un binomio.
Entonces, [tex]\( 4q^2 + 4q + 1 = (2q + 1)^2 \)[/tex].
### j) [tex]\(7x^2 - 15x + 2\)[/tex]
Este es un trinomio de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] con [tex]\( a = 7 \)[/tex], [tex]\( b = -15 \)[/tex], y [tex]\( c = 2 \)[/tex]. Buscamos dos números que sumen [tex]\( b = -15 \)[/tex] y cuya multiplicación sea [tex]\( a \cdot c = 14 \)[/tex]. Esos números son -1 y -14.
Entonces, [tex]\( 7x^2 - 15x + 2 = (x - 2)(7x - 1) \)[/tex].
Cada uno de estos trinomios ha sido identificado por su forma y factorizado utilizando las reglas adecuadas de factorización. Esto concluye la identificación y resolución de los trinomios dados.
