Para determinar si la función [tex]\( f(x) = x + 2 \)[/tex] es inyectiva, necesitamos verificar que si [tex]\( f(a) = f(b) \)[/tex] entonces [tex]\( a = b \)[/tex].
1. Definición de Inyectividad:
Una función [tex]\( f \)[/tex] es inyectiva si para todos [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex] en el dominio de [tex]\( f \)[/tex], si [tex]\( f(a) = f(b) \)[/tex] entonces [tex]\( a = b \)[/tex].
2. Igualdad de Funciones:
Tomemos dos valores [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex] tales que [tex]\( f(a) = f(b) \)[/tex].
Entonces tenemos:
[tex]\[
f(a) = f(b)
\][/tex]
3. Aplicar la Definición de la Función:
Sustituimos [tex]\( f(a) \)[/tex] y [tex]\( f(b) \)[/tex] por la expresión de la función:
[tex]\[
a + 2 = b + 2
\][/tex]
4. Eliminar el Término Común:
Restamos 2 de ambos lados de la ecuación para simplificar:
[tex]\[
a + 2 - 2 = b + 2 - 2
\][/tex]
[tex]\[
a = b
\][/tex]
5. Conclusión:
Hemos llegado a la conclusión de que si [tex]\( f(a) = f(b) \)[/tex], entonces [tex]\( a = b \)[/tex]. Esto cumple con la condición necesaria para que una función sea inyectiva.
Por lo tanto, la función [tex]\( f(x) = x + 2 \)[/tex] es inyectiva.
