¡Claro! Vamos a proceder a resolver la pregunta dada con todos los datos disponibles.
### Pregunta
b. Desde un faro de 32.4 metros de altura se observa un barco con un ángulo de depresión de 41°. Desde otro faro, de 44.7 metros de altura, se observa el mismo barco con un ángulo de depresión de 36°. Si los dos faros y el barco están alineados, y el barco está en medio, ¿cuál es la distancia entre los faros?
### Solución Detallada
1. Identificación de los Datos:
- Altura del primer faro: [tex]\( h_1 = 32.4 \)[/tex] metros.
- Ángulo de depresión desde el primer faro: [tex]\( \theta_1 = 41^\circ \)[/tex].
- Altura del segundo faro: [tex]\( h_2 = 44.7 \)[/tex] metros.
- Ángulo de depresión desde el segundo faro: [tex]\( \theta_2 = 36^\circ \)[/tex].
2. Conversión de Ángulos a Radianes:
- Para trabajar con funciones trigonométricas en cálculo, los ángulos deben convertirse a radianes.
[tex]\[
\theta_1 \text{ radianes} = 0.7155849933176751
\][/tex]
[tex]\[
\theta_2 \text{ radianes} = 0.6283185307179586
\][/tex]
3. Cálculo de las Distancias Horizontales Desde el Barco a Cada Faro:
Utilizaremos la fórmula de la tangente para encontrar la distancia horizontal desde el barco a cada faro:
[tex]\[
\text{distancia}_1 = \frac{h_1}{\tan(\theta_1)}
\][/tex]
[tex]\[
\text{distancia}_1 = 37.27193639396071 \text{ metros}
\][/tex]
[tex]\[
\text{distancia}_2 = \frac{h_2}{\tan(\theta_2)}
\][/tex]
[tex]\[
\text{distancia}_2 = 61.52427184506147 \text{ metros}
\][/tex]
4. Cálculo de la Distancia entre los Faros:
Dado que el barco está en el medio y las distancias horizontales desde el barco a cada faro son conocidas, la distancia entre los faros es simplemente el valor absoluto de la diferencia entre estas dos distancias:
[tex]\[
\text{Distancia entre faros} = |\text{distancia}_1 - \text{distancia}_2|
\][/tex]
[tex]\[
\text{Distancia entre faros} = |37.27193639396071 - 61.52427184506147|
\][/tex]
[tex]\[
\text{Distancia entre faros} = 24.252335451100762 \text{ metros}
\][/tex]
Por lo tanto, la distancia entre los dos faros es aproximadamente de 24.25 metros.
### Pregunta Alternativa
Si los dos faros y el barco no estuvieran alineados, una posible pregunta podría ser:
"¿Cuál sería la distancia directa entre los dos faros si el barco no está necesariamente en medio, sino en cualquier otra posición visible desde ambos faros con los ángulos de depresión indicados?"
Esta pregunta busca calcular la distancia espacial directa (no alineada) entre los faros considerando las observaciones dadas.
