Answer :
Claro, vamos a resolver cada una de las desigualdades paso a paso.
### 1. Resolver [tex]\( x^2 + x - 6 \geq 0 \)[/tex]
Primero, resolvemos la ecuación cuadrática asociada [tex]\( x^2 + x - 6 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) = 0 \][/tex]
Las raíces son [tex]\( x = 2 \)[/tex] y [tex]\( x = -3 \)[/tex].
Para determinar los intervalos donde [tex]\( x^2 + x - 6 \)[/tex] es mayor o igual a cero, analizamos los signos entre y fuera de las raíces:
- Para [tex]\( x < -3 \)[/tex], ambas [tex]\( (x - 2) \)[/tex] y [tex]\( (x + 3) \)[/tex] son negativas, así que su producto es positivo (negativo por negativo da positivo).
- Para [tex]\( -3 < x < 2 \)[/tex], uno de los factores es negativo y el otro es positivo, así que el producto es negativo.
- Para [tex]\( x > 2 \)[/tex], ambos factores son positivos, así que su producto es positivo.
Entonces, la solución de [tex]\( x^2 + x - 6 \geq 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty) \][/tex]
### 2. Resolver [tex]\( 3x^2 - 2x - 1 \leq 0 \)[/tex]
Primero, resolvemos la ecuación cuadrática asociada [tex]\( 3x^2 - 2x - 1 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 3x^2 - 2x - 1 = 3(x - \frac{1+\sqrt{5}}{3})(x + \frac{-1+\sqrt{5}}{3}) = 0 \][/tex]
Las raíces son [tex]\( x = \frac{1+\sqrt{5}}{3} \)[/tex] y [tex]\( x = \frac{-1+\sqrt{5}}{3} \)[/tex].
Para [tex]\( 3x^2 - 2x - 1 \)[/tex], analizamos los signos entre y fuera de las raíces:
- Para [tex]\( x < \frac{-1+\sqrt{5}}{3} \)[/tex], ambos factores son negativos, así que su producto es positivo.
- Para [tex]\( \frac{-1+\sqrt{5}}{3} < x < \frac{1+\sqrt{5}}{3} \)[/tex], uno de los factores es negativo y el otro es positivo, así que el producto es negativo.
- Para [tex]\( x > \frac{1+\sqrt{5}}{3} \)[/tex], ambos factores son positivos, así que su producto es positivo.
Entonces, la solución de [tex]\( 3x^2 - 2x - 1 \leq 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ x \in \left[\frac{-1+\sqrt{5}}{3}, \frac{1+\sqrt{5}}{3}\right] \][/tex]
### 3. Resolver [tex]\( 4x^2 + 12x + 9 > 0 \)[/tex]
Primero resolvemos la ecuación cuadrática asociada [tex]\( 4x^2 + 12x + 9 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2 = 0 \][/tex]
Las raíces son [tex]\( x = -\frac{3}{2} \)[/tex].
Para [tex]\( 4x^2 + 12x + 9 \)[/tex]:
- El término [tex]\( (2x + 3)^2 \)[/tex] siempre es positivo para todos los valores de [tex]\( x \)[/tex], excepto en [tex]\( x = -\frac{3}{2} \)[/tex] donde es cero.
Dado que la desigualdad es estrictamente mayor que cero, excluimos el punto donde es cero. Entonces, la solución de [tex]\( 4x^2 + 12x + 9 > 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}, \infty) \) ### 4. Resolver \( -2x^2 + 3x + 2 < 0.5 \) Primero, reescribimos la desigualdad: \[ -2x^2 + 3x + 2 < 0.5 \][/tex]
[tex]\[ -2x^2 + 3x + 1.5 < 0 \][/tex]
Resolvemos la ecuación cuadrática asociada [tex]\( -2x^2 + 3x + 1.5 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ -2x^2 + 3x + 1.5 = 0 \][/tex]
Las raíces se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
[tex]\[ a = -2, b = 3, c = 1.5 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 12}}{-4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{-3}}{-4} \][/tex]
Las raíces son complejas y no reales, así que debemos verificar entre los puntos para desigualdades.
Para determinar los intervalos donde [tex]\( -2x^2 + 3x + 1.5 \)[/tex] es menor que cero, podemos evaluar en intervalos:
- Evaluando la paridad, consideramos que para [tex]\( x \in (-\infty, \infty) \)[/tex]
### Resolver [tex]\( x^2 - 4x + 4 \leq 0 \)[/tex]
Primero resolvemos la ecuación cuadrática asociada [tex]\( x^2 - 4x + 4 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0 \][/tex]
Las raíces son [tex]\( x = 2 \)[/tex].
Para [tex]\( x^2 - 4x + 4 \)[/tex]:
- Sabemos que [tex]\( (x - 2)^2 \geq 0 \)[/tex] para todos los [tex]\( x \)[/tex], pero sólo es igual a cero en [tex]\( x = 2 \)[/tex].
Entonces, la solución de [tex]\( x^2 - 4x + 4 \leq 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
Resumo:
1. [tex]\( x^2 + x - 6 \geq 0 \)[/tex] - Solución: [tex]\( x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty) \)[/tex]
2. [tex]\( 3x^2 - 2x - 1 \leq 0 \)[/tex] - Solución: [tex]\( x \in \left[\frac{-1+\sqrt{5}}{3}, \frac{1+\sqrt{5}}{3}\right] \)[/tex]
3. [tex]\( 4x^2 + 12x + 9 > 0 \)[/tex] - Solución: [tex]\( x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}, \infty) \)[/tex]
4. [tex]\( -2x^2 + 3x + 2 < 0.5 \)[/tex] - Solución: [tex]\( \in (-\infty,\infty) \)[/tex]
5. [tex]\( x^2 - 4x + 4 \leq 0 \)[/tex] - Solución: [tex]\( x = 2 \)[/tex]
### 1. Resolver [tex]\( x^2 + x - 6 \geq 0 \)[/tex]
Primero, resolvemos la ecuación cuadrática asociada [tex]\( x^2 + x - 6 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) = 0 \][/tex]
Las raíces son [tex]\( x = 2 \)[/tex] y [tex]\( x = -3 \)[/tex].
Para determinar los intervalos donde [tex]\( x^2 + x - 6 \)[/tex] es mayor o igual a cero, analizamos los signos entre y fuera de las raíces:
- Para [tex]\( x < -3 \)[/tex], ambas [tex]\( (x - 2) \)[/tex] y [tex]\( (x + 3) \)[/tex] son negativas, así que su producto es positivo (negativo por negativo da positivo).
- Para [tex]\( -3 < x < 2 \)[/tex], uno de los factores es negativo y el otro es positivo, así que el producto es negativo.
- Para [tex]\( x > 2 \)[/tex], ambos factores son positivos, así que su producto es positivo.
Entonces, la solución de [tex]\( x^2 + x - 6 \geq 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty) \][/tex]
### 2. Resolver [tex]\( 3x^2 - 2x - 1 \leq 0 \)[/tex]
Primero, resolvemos la ecuación cuadrática asociada [tex]\( 3x^2 - 2x - 1 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 3x^2 - 2x - 1 = 3(x - \frac{1+\sqrt{5}}{3})(x + \frac{-1+\sqrt{5}}{3}) = 0 \][/tex]
Las raíces son [tex]\( x = \frac{1+\sqrt{5}}{3} \)[/tex] y [tex]\( x = \frac{-1+\sqrt{5}}{3} \)[/tex].
Para [tex]\( 3x^2 - 2x - 1 \)[/tex], analizamos los signos entre y fuera de las raíces:
- Para [tex]\( x < \frac{-1+\sqrt{5}}{3} \)[/tex], ambos factores son negativos, así que su producto es positivo.
- Para [tex]\( \frac{-1+\sqrt{5}}{3} < x < \frac{1+\sqrt{5}}{3} \)[/tex], uno de los factores es negativo y el otro es positivo, así que el producto es negativo.
- Para [tex]\( x > \frac{1+\sqrt{5}}{3} \)[/tex], ambos factores son positivos, así que su producto es positivo.
Entonces, la solución de [tex]\( 3x^2 - 2x - 1 \leq 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ x \in \left[\frac{-1+\sqrt{5}}{3}, \frac{1+\sqrt{5}}{3}\right] \][/tex]
### 3. Resolver [tex]\( 4x^2 + 12x + 9 > 0 \)[/tex]
Primero resolvemos la ecuación cuadrática asociada [tex]\( 4x^2 + 12x + 9 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2 = 0 \][/tex]
Las raíces son [tex]\( x = -\frac{3}{2} \)[/tex].
Para [tex]\( 4x^2 + 12x + 9 \)[/tex]:
- El término [tex]\( (2x + 3)^2 \)[/tex] siempre es positivo para todos los valores de [tex]\( x \)[/tex], excepto en [tex]\( x = -\frac{3}{2} \)[/tex] donde es cero.
Dado que la desigualdad es estrictamente mayor que cero, excluimos el punto donde es cero. Entonces, la solución de [tex]\( 4x^2 + 12x + 9 > 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}, \infty) \) ### 4. Resolver \( -2x^2 + 3x + 2 < 0.5 \) Primero, reescribimos la desigualdad: \[ -2x^2 + 3x + 2 < 0.5 \][/tex]
[tex]\[ -2x^2 + 3x + 1.5 < 0 \][/tex]
Resolvemos la ecuación cuadrática asociada [tex]\( -2x^2 + 3x + 1.5 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ -2x^2 + 3x + 1.5 = 0 \][/tex]
Las raíces se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
[tex]\[ a = -2, b = 3, c = 1.5 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 12}}{-4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{-3}}{-4} \][/tex]
Las raíces son complejas y no reales, así que debemos verificar entre los puntos para desigualdades.
Para determinar los intervalos donde [tex]\( -2x^2 + 3x + 1.5 \)[/tex] es menor que cero, podemos evaluar en intervalos:
- Evaluando la paridad, consideramos que para [tex]\( x \in (-\infty, \infty) \)[/tex]
### Resolver [tex]\( x^2 - 4x + 4 \leq 0 \)[/tex]
Primero resolvemos la ecuación cuadrática asociada [tex]\( x^2 - 4x + 4 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0 \][/tex]
Las raíces son [tex]\( x = 2 \)[/tex].
Para [tex]\( x^2 - 4x + 4 \)[/tex]:
- Sabemos que [tex]\( (x - 2)^2 \geq 0 \)[/tex] para todos los [tex]\( x \)[/tex], pero sólo es igual a cero en [tex]\( x = 2 \)[/tex].
Entonces, la solución de [tex]\( x^2 - 4x + 4 \leq 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ x = 2 \][/tex]
Resumo:
1. [tex]\( x^2 + x - 6 \geq 0 \)[/tex] - Solución: [tex]\( x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty) \)[/tex]
2. [tex]\( 3x^2 - 2x - 1 \leq 0 \)[/tex] - Solución: [tex]\( x \in \left[\frac{-1+\sqrt{5}}{3}, \frac{1+\sqrt{5}}{3}\right] \)[/tex]
3. [tex]\( 4x^2 + 12x + 9 > 0 \)[/tex] - Solución: [tex]\( x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{3}{2}, \infty) \)[/tex]
4. [tex]\( -2x^2 + 3x + 2 < 0.5 \)[/tex] - Solución: [tex]\( \in (-\infty,\infty) \)[/tex]
5. [tex]\( x^2 - 4x + 4 \leq 0 \)[/tex] - Solución: [tex]\( x = 2 \)[/tex]
