Para abordar el problema, necesitamos encontrar todas las parejas de números enteros [tex]$(a, b)$[/tex] entre -93 y 73 que satisfacen las condiciones [tex]\(b^4 = a^2\)[/tex] y [tex]\(a \cdot b > 0\)[/tex].
Vamos a desglosar el problema paso a paso:
1. Identificar las condiciones:
- [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] deben estar en el rango de -93 a 73.
- [tex]\(b^4 = a^2\)[/tex].
- [tex]\(a \cdot b > 0\)[/tex].
2. Analizar la ecuación [tex]\(b^4 = a^2\)[/tex]:
- Dado que el término [tex]\(b^4\)[/tex] es siempre no negativo (debido a que [tex]\(b\)[/tex] está elevado a la cuarta potencia), [tex]\(a^2\)[/tex] también siempre será no negativo. Esto implica que [tex]\(a\)[/tex] puede ser positivo o negativo (pero no cero).
- Además, [tex]\(a^2\)[/tex] debe ser un cuadrado perfecto porque [tex]\(b^4\)[/tex] es un cuadrado perfecto.
3. Encontrar soluciones posibles:
- Simplificando la ecuación [tex]\(b^4 = a^2\)[/tex], podemos tomar la raíz cuadrada de ambos lados y obtener [tex]\(|b^2| = |a|\)[/tex].
- Esto implica que [tex]\(a = \pm b^2\)[/tex].
4. Condiciones para [tex]\(a \cdot b > 0\)[/tex]:
- Si [tex]\(b\)[/tex] es positivo, [tex]\(a\)[/tex] debe ser positivo para satisfacer [tex]\(a \cdot b > 0\)[/tex].
- Si [tex]\(b\)[/tex] es negativo, [tex]\(a\)[/tex] debe ser negativo para satisfacer [tex]\(a \cdot b > 0\)[/tex].
5. Enumerar las parejas posibles para cada valor de [tex]\(b\)[/tex]:
- Vamos a iterar sobre los valores de [tex]\(b\)[/tex] en el rango de -93 a 73 y verificar si se cumplen las condiciones dadas.
- Cuando [tex]\(b\)[/tex] es positivo, [tex]\(a = b^2\)[/tex] debe estar en el rango de -93 a 73.
- Cuando [tex]\(b\)[/tex] es negativo, [tex]\(a = -(b^2)\)[/tex] debe estar en el rango de -93 a 73.
- Iteraremos sobre [tex]\(b\)[/tex] y hallaremos los posibles valores de [tex]\(a\)[/tex] que satisfacen las condiciones.
Después de analizar cuidadosamente todas las parejas y considerando la respuesta que hemos obtenido, concluimos que la cantidad de estas parejas es:
8.
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
Ninguna de las opciones ofrecidas en la pregunta es correcta.
