Para resolver el problema de encontrar el valor de [tex]\( m \)[/tex] tal que el resto de la división de
[tex]\[
\frac{3 x^4+5 x^3-5 x^2+4 x+m}{3 x-1}
\][/tex]
es 9, utilizaremos el Teorema del Resto. Este teorema establece que el resto [tex]\( R \)[/tex] de la división de un polinomio [tex]\( P(x) \)[/tex] por un binomio de la forma [tex]\( x - a \)[/tex] es igual a [tex]\( P(a) \)[/tex].
Dado que nuestro divisor es [tex]\( 3x - 1 \)[/tex], podemos escribirlo como [tex]\( 3(x - \frac{1}{3}) \)[/tex]. Aquí, [tex]\( a = \frac{1}{3} \)[/tex].
Para aplicar el Teorema del Resto y encontrar [tex]\( R \)[/tex], evaluamos el polinomio [tex]\( P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 5x^2 + 4x + m \)[/tex] en [tex]\( x = \frac{1}{3} \)[/tex]:
[tex]\[
P\left(\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{3}\right)^4 + 5\left(\frac{1}{3}\right)^3 - 5\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{3}\right) + m
\][/tex]
Primero simplificamos cada término individual:
[tex]\[
3\left(\frac{1}{3}\right)^4 = 3 \cdot \frac{1}{81} = \frac{3}{81} = \frac{1}{27}
\][/tex]
[tex]\[
5\left(\frac{1}{3}\right)^3 = 5 \cdot \frac{1}{27} = \frac{5}{27}
\][/tex]
[tex]\[
-5\left(\frac{1}{3}\right)^2 = -5 \cdot \frac{1}{9} = -\frac{5}{9}
\][/tex]
[tex]\[
4\left(\frac{1}{3}\right) = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}
\][/tex]
Ahora sumamos todos estos términos junto con [tex]\( m \)[/tex]:
[tex]\[
P\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{27} + \frac{5}{27} - \frac{5}{9} + \frac{4}{3} + m
\][/tex]
Para facilitar el cálculo, convertimos todos los términos a denominadores comunes. El denominador común aquí es 27:
[tex]\[
-\frac{5}{9} = -\frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} = -\frac{15}{27}
\][/tex]
[tex]\[
\frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{36}{27}
\][/tex]
Así que la suma de los fracciones se puede escribir como:
[tex]\[
P\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1 + 5 - 15 + 36}{27} + m
\][/tex]
Simplificamos el numerador:
[tex]\[
1 + 5 - 15 + 36 = 27
\][/tex]
Entonces,
[tex]\[
P\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{27}{27} + m = 1 + m
\][/tex]
Dado que el resto es 9,
[tex]\[
1 + m = 9
\][/tex]
Por lo tanto, resolvemos para [tex]\( m \)[/tex]:
[tex]\[
m = 9 - 1 = 8
\][/tex]
El valor de [tex]\( m \)[/tex] es [tex]\( \boxed{8} \)[/tex].
