Para resolver este problema, seguimos los siguientes pasos:
1. Comprender las condiciones dadas para realizar las equivalencias de fracciones y resolverlas junto con la ecuación adicional.
Primero notamos que estamos trabajando con la condición de que las fracciones [tex]\(\frac{2}{9}\)[/tex] y [tex]\(\frac{a}{3b}\)[/tex] son equivalentes. Esto nos da la ecuación:
[tex]\[
\frac{2}{9} = \frac{a}{3b}
\][/tex]
2. Simplificar la ecuación de la fracción equivalente para encontrar una relación entre [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex].
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por [tex]\(3b\)[/tex] para despejar [tex]\(a\)[/tex]:
[tex]\[
2 \cdot 3b = 9a \implies 6b = 9a \implies a = \frac{6b}{9} \implies a = \frac{2b}{3}
\][/tex]
3. Incorporar la otra condición dada: [tex]\(b - a = 8\)[/tex].
Sustituimos [tex]\(a\)[/tex] con [tex]\(\frac{2b}{3}\)[/tex] en la ecuación [tex]\(b - a = 8\)[/tex]:
[tex]\[
b - \frac{2b}{3} = 8
\][/tex]
4. Resolver para [tex]\(b\)[/tex].
Para hacerlo, necesitamos llevar todos los términos al mismo denominador (en este caso, 3):
[tex]\[
\frac{3b}{3} - \frac{2b}{3} = 8 \implies \frac{3b - 2b}{3} = 8 \implies \frac{b}{3} = 8
\][/tex]
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 3:
[tex]\[
b = 8 \cdot 3 \implies b = 24
\][/tex]
5. Utilizar el valor de [tex]\(b\)[/tex] para encontrar [tex]\(a\)[/tex].
Conocemos que [tex]\(a = \frac{2b}{3}\)[/tex]:
[tex]\[
a = \frac{2 \cdot 24}{3} \implies a = \frac{48}{3} \implies a = 16
\][/tex]
6. Calcular el producto [tex]\(a \times b\)[/tex].
Ahora que tenemos los valores de [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex], podemos encontrar [tex]\(a \times b\)[/tex]:
[tex]\[
a \times b = 16 \times 24 = 384
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\(a \times b\)[/tex] es [tex]\(384\)[/tex].
