Claro, vamos a resolver cada uno de los puntos paso a paso:
a. [tex]\((-3)^{\square_1} \cdot (-3)^{\square_2} = (-3)^{12}\)[/tex]
Para que la multiplicación de potencias con la misma base sea igual a [tex]\( (-3)^{12} \)[/tex], la suma de los exponentes debe ser igual a 12.
Por tanto, los valores que satisfacen esta ecuación son [tex]\(\square_1 = 6\)[/tex] y [tex]\(\square_2 = 6\)[/tex].
Entonces, [tex]\((-3)^{6} \cdot (-3)^{6} = (-3)^{12}\)[/tex].
b. [tex]\(\frac{(-5)^{\square_1}}{(-5)^{\square_2}} = (-5)^7\)[/tex]
Para que la división de potencias con la misma base sea igual a [tex]\( (-5)^7 \)[/tex], la resta de los exponentes debe ser igual a 7.
Por tanto, los valores que satisfacen esta ecuación son [tex]\(\square_1 = 8\)[/tex] y [tex]\(\square_2 = 1\)[/tex].
Entonces, [tex]\(\frac{(-5)^{8}}{(-5)^{1}} = (-5)^7\)[/tex].
c. [tex]\(\left[(-4)^{\square}\right]^3 = (-4)^{15}\)[/tex]
Para que una potencia de una potencia sea igual a [tex]\( (-4)^{15} \)[/tex], el producto de los exponentes debe ser igual a 15.
Por tanto, el valor que satisface esta ecuación es [tex]\(\square = 5\)[/tex].
Entonces, [tex]\(\left[(-4)^{5}\right]^3 = (-4)^{15}\)[/tex].
d. [tex]\(\left[\frac{(-7)^{\square_1}}{(-10)^{\square_2}}\right]^4 = \frac{(-7)^{16}}{(-10)^{20}}\)[/tex]
Para que la división de potencias elevada a otro exponente sea igual a [tex]\(\frac{(-7)^{16}}{(-10)^{20}}\)[/tex], el producto de los exponentes debe ser igual a 16 para [tex]\((-7)\)[/tex] y a 20 para [tex]\((-10)\)[/tex].
Por tanto, los valores que satisfacen esta ecuación son [tex]\(\square_1 = 4\)[/tex] y [tex]\(\square_2 = 5\)[/tex].
Entonces, [tex]\(\left[\frac{(-7)^{4}}{(-10)^{5}}\right]^4 = \frac{(-7)^{16}}{(-10)^{20}}\)[/tex].
e. [tex]\(\left[\frac{(-6)^3}{(-9)^{\square_1}}\right]^{\square_2} = \frac{(-6)^9}{(-9)^{\square_3}}\)[/tex]
Para que la expresión sea igual a [tex]\(\frac{(-6)^9}{(-9)^{4}}\)[/tex], el producto del exponente [tex]\((3 \cdot \square_2 = 9)\)[/tex] debe ser igual a 9 para [tex]\((-6)\)[/tex], y [tex]\(\square_1 \cdot \square_2 = 4\)[/tex] para [tex]\((-9)\)[/tex].
Por tanto, los valores que satisfacen esta ecuación son [tex]\(\square_2 = 3\)[/tex] y [tex]\(\square_1 = 4\)[/tex].
Entonces, [tex]\(\left[\frac{(-6)^3}{(-9)^{4}}\right]^3 = \frac{(-6)^9}{(-9)^{4}}\)[/tex].
f. [tex]\(\left[\frac{(-8)^4 (-2)^{\square_1}}{(-8)^{\square_2} (-2)^2}\right]^3 = (-2)^6\)[/tex]
Para que la expresión sea igual a [tex]\((-2)^6\)[/tex], la diferencia de los exponentes en el numerador y el denominador para [tex]\(((-8))\)[/tex] elevada al exponente 3 debe ser igual a 12 [tex]\((4 - \square_2 \Rightarrow \square_2 = 4)\)[/tex] y para [tex]\((-2)\)[/tex] al elevarlo por 3 debe ser igual a 6.
Por tanto, los valores que satisfacen esta ecuación son [tex]\(\square_2 = 0\)[/tex] y [tex]\(\square_1 = 4\)[/tex].
Entonces, [tex]\(\left[\frac{(-8)^4 (-2)^{0}}{(-8)^4 (-2)^2}\right]^3 = (-2)^6\)[/tex].
En resumen:
a. [tex]\( (6, 6) \)[/tex]
b. [tex]\( (8, 1) \)[/tex]
c. [tex]\(5\)[/tex]
d. [tex]\( (4, 5) \)[/tex]
e. [tex]\( (3, 4) \)[/tex]
f. [tex]\( (0, 2) \)[/tex]
