Claro, resolveremos el problema paso a paso para encontrar el residuo cuando el polinomio [tex]\(\frac{(x^2 + 7x)(x^2 + 7x + 1) + 3}{x^2 + 7x - 2}\)[/tex] es dividido.
### Paso 1: Expandir el numerador
Primero, identificamos y expandimos el numerador:
[tex]\[
(x^2 + 7x)(x^2 + 7x + 1) + 3
\][/tex]
### Paso 2: Efectuar la multiplicación de polinomios
Expandimos [tex]\((x^2 + 7x)(x^2 + 7x + 1)\)[/tex]:
[tex]\[
(x^2 + 7x)(x^2 + 7x) + (x^2 + 7x)
\][/tex]
[tex]\[
(x^2 + 7x)^2 + (x^2 + 7x)
\][/tex]
[tex]\[
(x^2 + 7x)^2 = x^4 + 14x^3 + 49x^2
\][/tex]
Sumamos:
[tex]\[
x^4 + 14x^3 + 49x^2 + x^2 + 7x
\][/tex]
[tex]\[
x^4 + 14x^3 + 50x^2 + 7x
\][/tex]
Por lo tanto, el numerador es:
[tex]\[
x^4 + 14x^3 + 50x^2 + 7x + 3
\][/tex]
### Paso 3: Divide el polinomio
Dividimos este polinomio por el denominador [tex]\(x^2 + 7x - 2\)[/tex] usando la división de polinomios.
### Paso 4: Calcular el residuo
Al realizar la división polinómica, encontramos el cociente y el residuo. El cociente es [tex]\(x^2 + 7x + 3\)[/tex] y el residuo es [tex]\(9\)[/tex].
Por lo tanto, el residuo cuando dividimos [tex]\((x^2 + 7x)(x^2 + 7x + 1) + 3\)[/tex] entre [tex]\(x^2 + 7x - 2\)[/tex] es [tex]\(9\)[/tex].
### Respuesta Final
El residuo al dividir:
[tex]\[
\frac{\left(x^2+7 x\right)\left(x^2+7 x+1\right)+3}{x^2+7 x-2}
\][/tex]
es [tex]\(9\)[/tex].
