Claro, vamos a resolver los problemas paso a paso.
### Problema 1
Pregunta: ¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.: [tex]\(\overline{a b}, 23, \overline{c d}, 37, \ldots, \overline{a b c}\)[/tex]?
Posibles opciones:
a) 27
b) 16
c) 22
d) 20
e) 18
Para determinar el número de términos de la progresión aritmética (P.A.), necesitamos determinar la diferencia común (d) y cómo se relacionan los términos.
- El primer término es [tex]\(23\)[/tex].
- El segundo término es [tex]\(37\)[/tex].
- La diferencia común (d) entre los términos puede encontrarse así: [tex]\(37 - 23 = 14\)[/tex].
Si continuamos con esta diferencia común,
- Primer término (a) = 23,
- Segundo término = [tex]\(23 + 14 = 37\)[/tex],
- Tercer término = [tex]\(37 + 14 = 51\)[/tex],
Para hallar el número total de términos [tex]\(n\)[/tex] en la secuencia que comienza con 23 y termina con [tex]\(\overline{a b c}\)[/tex], sabiendo que [tex]\(\overline{a b c} = 23 + 26 \times 14\)[/tex] (relacionado con las opciones), concluimos que
El número de términos en esta P.A. es: No es claro a partir de la secuencia.
### Problema 2
Pregunta: La diferencia entre el quinto y segundo término de una P.A. es 33. Encuentra la diferencia entre el término de lugar 15 y de lugar 23.
Posibles opciones:
a) 22
b) 11
c) 40
d) 88
e) 68
Primero veamos la diferencia entre el quinto y segundo término:
- La fórmula para el [tex]\(n\)[/tex]-ésimo término de una P.A. es: [tex]\(a_n = a + (n-1)d\)[/tex],
Dado:
- Quinto término: [tex]\(a + 4d\)[/tex],
- Segundo término: [tex]\(a + d\)[/tex],
- La diferencia es: [tex]\(a + 4d - (a + d) = 33\)[/tex],
- Simplificando: [tex]\(3d = 33 \implies d = 11\)[/tex].
Ahora, para encontrar la diferencia entre el término 15 (a_15) y el término 23 (a_23):
- Término de lugar 15: [tex]\(a + 14d\)[/tex],
- Término de lugar 23: [tex]\(a + 22d\)[/tex],
- La diferencia es: [tex]\(a + 22d - (a + 14d) = 8d\)[/tex],
- Sustituyendo [tex]\(d = 11\)[/tex]: [tex]\(8 \times 11 = 88\)[/tex].
La diferencia entre el término 15 y el 23 es: 88.
### Problema 3
Pregunta: Halle el vigésimo término de la siguiente P.A. [tex]\(43(7); 61(7); 106(7); \ldots\)[/tex]. De como respuesta la suma de sus cifras.
Primero, debemos determinar el vigésimo término de la progresión aritmética:
- El primer término (a) es 43.
- La diferencia común ([tex]\(d\)[/tex]) es 7.
El término vigésimo ([tex]\(a_{20}\)[/tex]):
- Fórmula del término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo: [tex]\(a_n = a + (n-1)d\)[/tex]
- Término vigésimo [tex]\(a_{20} = 43 + (20-1) \times 7 = 43 + 19 \times 7 = 43 + 133 = 176\)[/tex].
Ahora sumamos las cifras de 176:
- [tex]\(1 + 7 + 6 = 14\)[/tex].
Así que, la suma de las cifras del vigésimo término es: 14.
