Vamos a resolver cada uno de los ejercicios de esta clase paso a paso:
### Ejercicio 1:
Determine la cantidad de términos en la progresión aritmética (P.A.) que empieza con [tex]$\overline{a b}, 23, \overline{c d}, 37, \ldots, \overline{a b c}$[/tex].
Para resolver esto, identificamos los términos dados:
- Primer término (a) = 23
- Segundo término (b) = 37
La diferencia entre estos términos es:
[tex]\[ d = b - a = 37 - 23 = 14 \][/tex]
Assumimos que [tex]$\overline{a b c}$[/tex] representa el mayor número de tres dígitos en la progresión, es decir, 999.
Sabemos que el enésimo término (n) de una P.A. se calcula con la fórmula:
[tex]\[ a_n = a + (n-1)d \][/tex]
Despejamos para encontrar el número de términos (n):
[tex]\[ 999 = 23 + (n-1) \cdot 14 \][/tex]
[tex]\[ 999 - 23 = (n-1) \cdot 14 \][/tex]
[tex]\[ 976 = (n-1) \cdot 14 \][/tex]
[tex]\[ n-1 = \frac{976}{14} \][/tex]
[tex]\[ n-1 \approx 69.714 \][/tex]
[tex]\[ n = 70.714 \][/tex]
Redondeamos el valor a 70 términos. Así, la progresión tiene 70 términos.
### Ejercicio 2:
La diferencia entre el quinto y segundo término de una P.A. es 33. Halle la diferencia entre el término de lugar 23.
La diferencia entre el quinto y segundo término puede escribirse como:
[tex]\[ a + 4d - (a + d) = 33 \][/tex]
Simplificamos la ecuación:
[tex]\[ 4d - d = 33 \][/tex]
[tex]\[ 3d = 33 \][/tex]
[tex]\[ d = \frac{33}{3} = 11 \][/tex]
La diferencia entre los términos de lugar 23 podemos asumir que es el múltiplo de la diferencia común. Pero aquí no se mencionó con qué término comparar, independientemente de eso, la diferencia es 11.
### Ejercicio 3:
Determine el vigésimo término de la P.A. [tex]$43_{(7)}, 61$[/tex], donde [tex]$43_{(7)}$[/tex] y [tex]$61$[/tex] son equivalentes a 43 y 61 respectivamente (considerando una conversión desde base 7).
Identificamos de nuevo términos:
- Primer término (a) = 43
- Segundo término (b) = 61
La diferencia común (d) entre estos términos es:
[tex]\[ d = b - a = 61 - 43 = 18 \][/tex]
Para determinar el vigésimo término, usamos la fórmula para el n-ésimo término:
[tex]\[ a_{20} = a + (20-1)d \][/tex]
[tex]\[ a_{20} = 43 + 19 \cdot 18 \][/tex]
[tex]\[ a_{20} = 43 + 342 \][/tex]
[tex]\[ a_{20} = 385 \][/tex]
Finalmente, encontramos la suma de los dígitos del vigésimo término:
Suma de los dígitos de 385:
[tex]\[ 3 + 8 + 5 = 16 \][/tex]
Por lo tanto, la suma de las cifras del vigésimo término es 16.
