Claro, vamos a resolver este problema paso a paso:
### Paso 1: Calcular el tercer proporcional de 28 y 20
El tercer proporcional de dos números [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] se define como el número [tex]\(c\)[/tex] tal que la proporción entre [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] es igual a la proporción entre [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex]. En otras palabras, si [tex]\( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} \)[/tex], entonces [tex]\(c\)[/tex] es el tercer proporcional.
En nuestro caso, [tex]\(a = 28\)[/tex] y [tex]\(b = 20\)[/tex]. Queremos encontrar el valor de [tex]\(c\)[/tex].
[tex]\[
\frac{28}{20} = \frac{20}{c}
\][/tex]
Para resolver esto, podemos multiplicar en cruz:
[tex]\[
28c = 20 \cdot 20
\][/tex]
[tex]\[
28c = 400
\][/tex]
[tex]\[
c = \frac{400}{28} \approx 14.285714285714286
\][/tex]
Por lo tanto, [tex]\(A \approx 14.285714285714286\)[/tex].
### Paso 2: Calcular el cuarto proporcional de 20, 30 y 50
El cuarto proporcional de tres números [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex] es el número [tex]\(d\)[/tex] tal que la proporción entre [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] es igual a la proporción entre [tex]\(c\)[/tex] y [tex]\(d\)[/tex]. En otras palabras, si [tex]\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)[/tex], entonces [tex]\(d\)[/tex] es el cuarto proporcional.
En nuestro caso, [tex]\(a = 20\)[/tex], [tex]\(b = 30\)[/tex] y [tex]\(c = 50\)[/tex]. Queremos encontrar el valor de [tex]\(d\)[/tex].
[tex]\[
\frac{20}{30} = \frac{50}{d}
\][/tex]
Para resolver esto, podemos multiplicar en cruz:
[tex]\[
20d = 30 \cdot 50
\][/tex]
[tex]\[
20d = 1500
\][/tex]
[tex]\[
d = \frac{1500}{20} = 75
\][/tex]
Por lo tanto, [tex]\(B = 75\)[/tex].
### Paso 3: Calcular la media proporcional de [tex]\(A\)[/tex] y [tex]\(B\)[/tex]
La media proporcional de dos números [tex]\(A\)[/tex] y [tex]\(B\)[/tex] es el número [tex]\(M\)[/tex] tal que [tex]\(M^2 = A \cdot B\)[/tex]. En otras palabras, [tex]\(M\)[/tex] es la raíz cuadrada del producto de [tex]\(A\)[/tex] y [tex]\(B\)[/tex].
En nuestro caso, [tex]\(A \approx 14.285714285714286\)[/tex] y [tex]\(B = 75\)[/tex]. Queremos encontrar [tex]\(M\)[/tex].
[tex]\[
M = \sqrt{A \cdot B}
\][/tex]
[tex]\[
M = \sqrt{14.285714285714286 \cdot 75}
\][/tex]
[tex]\[
M \approx \sqrt{1071.4285714285716}
\][/tex]
[tex]\[
M \approx 32.732683535398856
\][/tex]
Así que la media proporcional de [tex]\(A\)[/tex] y [tex]\(B\)[/tex] es aproximadamente [tex]\(32.732683535398856\)[/tex].
