Sure, let's proceed with solving the given mathematical expression step-by-step:
[tex]\[ -\sqrt{2:\left\{\frac{5}{6}-\left[\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^4:\left(\frac{1}{2}\right)^3-\frac{5}{6}\right]+\frac{3}{4}\right\}:\left\{\frac{2}{3}-\left[\frac{4}{5}+3-\left(\frac{4}{3}+2\right)\right]\right\}+1} \][/tex]
Step 1: Simplify the innermost fraction [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^4\)[/tex] and [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^3\)[/tex]:
[tex]\[ \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} = 0.0625 \][/tex]
[tex]\[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 0.125 \][/tex]
Step 2: Simplify the ratio of these two results:
[tex]\[ \left(\frac{1}{2}\right)^4 : \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{0.0625}{0.125} = 0.5 \][/tex]
Step 3: Evaluate the expression within the brackets:
[tex]\[ \left(\frac{1}{2}\right)^4 : \left(\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{5}{6} = 0.5 - 0.8333333333333334 = -0.33333333333333337 \][/tex]
Step 4: Add [tex]\(\frac{2}{3}\)[/tex] to the result from Step 3:
[tex]\[ \frac{2}{3} + (-0.33333333333333337) = 0.6666666666666666 + (-0.33333333333333337) = 0.33333333333333326 \][/tex]
Step 5: Subtract the result from Step 4 from [tex]\(\frac{5}{6}\)[/tex] and add [tex]\(\frac{3}{4}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{5}{6} - 0.33333333333333326 + \frac{3}{4} = 0.8333333333333334 - 0.33333333333333326 + 0.75 = 1.25 \][/tex]
Step 6: Evaluate the expression within the second brackets:
[tex]\[ \frac{4}{5} + 3 - \left(\frac{4}{3} + 2\right) = 0.8 + 3 - (1.3333333333333333 + 2) = 0.8 + 3 - 3.3333333333333333 = 0.4666666666666668 \][/tex]
Step 7: Subtract the result from Step 6 from [tex]\(\frac{2}{3}\)[/tex]:
[tex]\[ \frac{2}{3} - 0.4666666666666668 = 0.6666666666666666 - 0.4666666666666668 = 0.19999999999999984 \][/tex]
Step 8: Evaluate the entire denominator in the expression:
[tex]\[ \left\{\frac{5}{6} - \left[\frac{2}{3} + \left(\frac{1}{2}\right)^4 : \left(\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{5}{6}\right] + \frac{3}{4}\right\} : \left\{\frac{2}{3} - \left[\frac{4}{5} + 3 - \left(\frac{4}{3} + 2 \right)\right]\right\} + 1 = \frac{1.25}{0.19999999999999984} + 1 = 7.250000000000004 \][/tex]
Step 9: Calculate the result:
[tex]\[ -\sqrt{2:7.25} = -\sqrt{\frac{2}{7.25}} \approx -0.5252257314388901 \][/tex]
Hence, the final result of the given expression is approximately:
[tex]\[ -0.5252257314388901 \][/tex]
