Para determinar si [tex]\(\ln y = c_1 e^x + c_2 e^{-x}\)[/tex] es una solución implícita de la ecuación diferencial [tex]\(y y'' - (y')^2 = y^2 \ln y\)[/tex], vamos a proceder paso a paso.
### Paso 1: Expresar [tex]\(y\)[/tex] en términos de [tex]\(x\)[/tex]
Dada la ecuación [tex]\(\ln y = c_1 e^x + c_2 e^{-x}\)[/tex], podemos despejar [tex]\(y\)[/tex] tomando exponenciales ambos lados:
[tex]\[ y = e^{c_1 e^x + c_2 e^{-x}} \][/tex]
### Paso 2: Calcular la primera derivada de [tex]\(y\)[/tex]
La primera derivada de [tex]\(y\)[/tex] con respecto a [tex]\(x\)[/tex] es:
[tex]\[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{c_1 e^x + c_2 e^{-x}} \right) \][/tex]
Usamos la regla de la cadena:
[tex]\[ y' = e^{c_1 e^x + c_2 e^{-x}} \left( c_1 e^x - c_2 e^{-x} \right) \][/tex]
Ya que [tex]\(e^{c_1 e^x + c_2 e^{-x}} = y\)[/tex], tenemos:
[tex]\[ y' = y \left( c_1 e^x - c_2 e^{-x} \right) \][/tex]
### Paso 3: Calcular la segunda derivada de [tex]\(y\)[/tex]
La segunda derivada de [tex]\(y\)[/tex] con respecto a [tex]\(x\)[/tex] es:
[tex]\[ y'' = \frac{d}{dx} \left( y \left( c_1 e^x - c_2 e^{-x} \right) \right) \][/tex]
Aplicamos la regla del producto:
[tex]\[ y'' = y' \left( c_1 e^x - c_2 e^{-x} \right) + y \left( c_1 e^x + c_2 e^{-x} \right) \][/tex]
Sustituyendo [tex]\(y'\)[/tex]:
[tex]\[ y'' = y \left( c_1 e^x - c_2 e^{-x} \right)^2 + y \left( c_1 e^x + c_2 e^{-x} \right) \][/tex]
### Paso 4: Sustituir [tex]\(y'\)[/tex] y [tex]\(y''\)[/tex] en la ecuación diferencial
La ecuación diferencial es [tex]\(y y'' - (y')^2 = y^2 \ln y\)[/tex]. Sustituimos [tex]\(y', y''\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ y \left[ y \left( c_1 e^x - c_2 e^{-x} \right)^2 + y \left( c_1 e^x + c_2 e^{-x} \right) \right] - \left[ y \left( c_1 e^x - c_2 e^{-x} \right) \right]^2 = y^2 (c_1 e^x + c_2 e^{-x}) \][/tex]
Simplifiquemos:
[tex]\[ y^2 \left( c_1 e^x - c_2 e^{-x} \right)^2 + y^2 \left( c_1 e^x + c_2 e^{-x} \right) - y^2 \left( c_1 e^x - c_2 e^{-x} \right)^2 = y^2 (c_1 e^x + c_2 e^{-x}) \][/tex]
Observamos que los términos con [tex]\(\left( c_1 e^x - c_2 e^{-x} \right)^2\)[/tex] se cancelan:
[tex]\[ y^2 \left( c_1 e^x + c_2 e^{-x} \right) = y^2 (c_1 e^x + c_2 e^{-x}) \][/tex]
### Conclusión
La ecuación se ha reducido a una igualdad trivial:
[tex]\[ y^2 (c_1 e^x + c_2 e^{-x}) = y^2 (c_1 e^x + c_2 e^{-x}) \][/tex]
Por lo tanto, [tex]\(\ln y = c_1 e^x + c_2 e^{-x}\)[/tex] es una solución implícita de la ecuación diferencial dada [tex]\(y y'' - (y')^2 = y^2 \ln y\)[/tex].
