¡Claro! Vamos a encontrar las ecuaciones de ambas parábolas dadas las condiciones específicas.
### a) Parábola con Directriz [tex]\(x = -3\)[/tex] y Foco [tex]\((3,0)\)[/tex]
Para resolver esto, primero en centrar la parábola basado en sus propiedades.
1. Determinamos el vértice de la parábola. Sabemos que el vértice está equidistante del foco y de la directriz.
- El foco está en [tex]\((3, 0)\)[/tex].
- La directriz es [tex]\(x = -3\)[/tex].
- La coordenada [tex]\(x\)[/tex] del vértice [tex]\(h\)[/tex] es el punto medio entre el foco y la directriz:
[tex]\[
h = \frac{3 + (-3)}{2} = 0
\][/tex]
- La coordenada [tex]\(y\)[/tex] del vértice [tex]\(k\)[/tex] es la misma que la del foco:
[tex]\[
k = 0
\][/tex]
2. Calculamos la distancia [tex]\(p\)[/tex] desde el vértice hasta el foco (o desde el vértice hasta la directriz):
[tex]\[
p = 3 - 0 = 3
\][/tex]
3. Ahora podemos armar la ecuación de la parábola. Para una parábola de la forma [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex], tenemos que:
- [tex]\(h = 0\)[/tex]
- [tex]\(k = 0\)[/tex]
- [tex]\(p = 3\)[/tex]
Entonces, la ecuación de la parábola es:
[tex]\[
(x - 0)^2 = 4 \cdot 3 (y - 0) \implies x^2 = 12y
\][/tex]
### b) Parábola con Foco [tex]\((3,2)\)[/tex] y Vértice [tex]\((5,2)\)[/tex]
Para esta parábola, determinamos su orientación y armamos su ecuación.
1. Las coordenadas del vértice son [tex]\((h, k)\)[/tex]:
- [tex]\(h = 5\)[/tex]
- [tex]\(k = 2\)[/tex]
2. Determinamos la distancia [tex]\(p\)[/tex] desde el vértice hasta el foco, donde el vértice está en [tex]\((5, 2)\)[/tex] y el foco en [tex]\((3, 2)\)[/tex]:
[tex]\[
p = 5 - 3 = 2
\][/tex]
Notamos que aquí la parábola está orientada horizontalmente porque tanto el vértice como el foco tienen la misma coordenada y, lo que indica que la parábola se abre hacia la izquierda.
3. Para una parábola horizontal de la forma [tex]\((y - k)^2 = 4p(x - h)\)[/tex], sustituimos:
- [tex]\(h = 5\)[/tex]
- [tex]\(k = 2\)[/tex]
- [tex]\(p = 2\)[/tex]
Entonces, la ecuación de la parábola es:
[tex]\[
(y - 2)^2 = 4 \cdot 2 (x - 5) \implies (y - 2)^2 = 8(x - 5)
\][/tex]
Por lo tanto, las ecuaciones de las parábolas son:
1. [tex]\(x^2 = 12y\)[/tex]
2. [tex]\((y - 2)^2 = 8(x - 5)\)[/tex]
