Vamos a resolver la ecuación paso a paso.
Dada la ecuación:
[tex]\[
\overline{mnp1} = 3 \times \overline{2mnp}
\][/tex]
Primero, reescribimos los números como expresiones algebraicas. El número [tex]\(\overline{mnp1}\)[/tex] se puede representar como:
[tex]\[
1000m + 100n + 10p + 1
\][/tex]
Y el número [tex]\(\overline{2mnp}\)[/tex] se puede representar como:
[tex]\[
2000 + 100m + 10n + p
\][/tex]
Por lo tanto, la ecuación original se convierte en:
[tex]\[
1000m + 100n + 10p + 1 = 3(2000 + 100m + 10n + p)
\][/tex]
A continuación, expandimos y simplificamos el lado derecho de la ecuación:
[tex]\[
1000m + 100n + 10p + 1 = 6000 + 300m + 30n + 3p
\][/tex]
Luego, reagrupamos y simplificamos términos para resolver para [tex]\(m, n, p\)[/tex]:
[tex]\[
1000m + 100n + 10p + 1 - 300m - 30n - 3p = 6000
\][/tex]
[tex]\[
700m + 70n + 7p + 1 = 6000
\][/tex]
[tex]\[
700m + 70n + 7p = 5999
\][/tex]
Podemos dividir toda la ecuación entre 7 para simplificar:
[tex]\[
100m + 10n + p = 857
\][/tex]
Ahora podemos considerar todas las combinaciones posibles de [tex]\(m, n\)[/tex] y [tex]\(p\)[/tex] que satisfacen la ecuación [tex]\(100m + 10n + p = 857\)[/tex]:
Probemos [tex]\(m = 8\)[/tex]:
[tex]\[
100(8) + 10n + p = 857
\][/tex]
[tex]\[
800 + 10n + p = 857
\][/tex]
[tex]\[
10n + p = 57
\][/tex]
Probamos con [tex]\(n = 5\)[/tex]:
[tex]\[
10(5) + p = 57
\][/tex]
[tex]\[
50 + p = 57
\][/tex]
[tex]\[
p = 7
\][/tex]
Entonces, obtenemos:
[tex]\[
m = 8, n = 5, p = 7
\][/tex]
Sumamos estos valores:
[tex]\[
m + n + p = 8 + 5 + 7 = 20
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta es [tex]\(e) 20\)[/tex].
