Claro, vamos a verificar esta ecuación paso a paso. Queremos comprobar si la siguiente expresión es correcta:
[tex]\[
\frac{1-\operatorname{sen} x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x} = \sec(x)
\][/tex]
Paso 1: Simplificación inicial de las fracciones
Primero, encontramos un denominador común para los términos de la izquierda:
[tex]\[
\frac{1-\operatorname{sen} x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x}
\][/tex]
Para sumar estas fracciones, usamos el denominador común [tex]\(\cos(x)(1 + \operatorname{sen}(x))\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{(1 - \operatorname{sen}(x))(1 + \operatorname{sen}(x)) + (\cos(x))(\cos(x))}{\cos(x)(1 + \operatorname{sen}(x))}
\][/tex]
Paso 2: Simplificación del numerador
Simplificamos el numerador:
[tex]\[
(1 - \operatorname{sen}(x))(1 + \operatorname{sen}(x)) + \cos^2(x)
\][/tex]
Calculamos la multiplicación:
[tex]\[
(1 - \operatorname{sen}(x))(1 + \operatorname{sen}(x)) = 1 - \operatorname{sen}^2(x)
\][/tex]
Reescribimos el numerador:
[tex]\[
1 - \operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x)
\][/tex]
Paso 3: Uso de identidades trigonométricas
Sabemos que [tex]\( \operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1 \)[/tex]. Entonces, sustituimos:
[tex]\[
1 - \operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1 - \operatorname{sen}^2(x) + \operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x) - \operatorname{sen}^2(x)
\][/tex]
[tex]\[
(1 - \operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x)) = 1 + \cos^2(x)
\][/tex]
Esto simplifica en:
[tex]\[
2 \cos^2(x)
\][/tex]
Paso 4: Simplificación del lado izquierdo
Ahora, el numerador es [tex]\(2 \cos^2(x)\)[/tex] y el denominador es [tex]\(\cos(x)(1 + \operatorname{sen}(x))\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{2 \cos^2(x)}{\cos(x)(1 + \operatorname{sen}(x))}
\][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[
\frac{2 \cos^2(x)}{\cos(x)(1 + \operatorname{sen}(x))} = \frac{2 \cos(x)}{1 + \operatorname{sen}(x)}
\][/tex]
Paso 5: Comprobación con el lado derecho
Finalmente, verificamos si el resultado obtenido es igual a [tex]\( \sec(x) \)[/tex]:
[tex]\[
\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}
\][/tex]
Claramente vemos que:
[tex]\[
\frac{2 \cos(x)}{1 + \operatorname{sen}(x)} \neq \sec(x)
\][/tex]
Conclusión
La ecuación dada:
[tex]\[
\frac{1-\operatorname{sen} x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x} = \sec(x)
\][/tex]
no es correcta, ya que simplificando el lado izquierdo no llegamos a la función [tex]\(\sec(x)\)[/tex]. Entonces, la igualdad no se cumple.
