Answer :
Para determinar el máximo común divisor (m.c.d.) y el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los conjuntos de números dados, se analizarán cada uno según los métodos matemáticos conocidos.
### Conjunto 1: 32 y 68
1. Máximo Común Divisor (m.c.d.) de 32 y 68:
[tex]\[ \text{Descomposición en factores primos:} \][/tex]
- [tex]\(32 = 2^5\)[/tex]
- [tex]\(68 = 2^2 \times 17\)[/tex]
El m.c.d. se obtiene al tomar el menor exponente común de los factores primos.
- En este caso, el único factor primo común es [tex]\(2\)[/tex] con el menor exponente [tex]\(2\)[/tex]:
[tex]\[ m.c.d.(32, 68) = 2^2 = 4 \][/tex]
2. Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de 32 y 68:
[tex]\[ \text{El m.c.m. se obtiene al tomar el mayor exponente de todos los factores primos.} \][/tex]
- [tex]\(32 = 2^5\)[/tex]
- [tex]\(68 = 2^2 \times 17\)[/tex]
[tex]\[ m.c.m.(32, 68) = 2^5 \times 17 = 544 \][/tex]
### Conjunto 2: 52 y 76
1. Máximo Común Divisor (m.c.d.) de 52 y 76:
[tex]\[ \text{Descomposición en factores primos:} \][/tex]
- [tex]\(52 = 2^2 \times 13\)[/tex]
- [tex]\(76 = 2^2 \times 19\)[/tex]
El m.c.d. se obtiene al tomar el menor exponente común de los factores primos.
- En este caso, el único factor primo común es [tex]\(2\)[/tex] con el menor exponente [tex]\(2\)[/tex]:
[tex]\[ m.c.d.(52, 76) = 2^2 = 4 \][/tex]
2. Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de 52 y 76:
[tex]\[ \text{El m.c.m. se obtiene al tomar el mayor exponente de todos los factores primos.} \][/tex]
- [tex]\(52 = 2^2 \times 13\)[/tex]
- [tex]\(76 = 2^2 \times 19\)[/tex]
[tex]\[ m.c.m.(52, 76) = 2^2 \times 13 \times 19 = 988 \][/tex]
### Conjunto 3: 84 y 95
1. Máximo Común Divisor (m.c.d.) de 84 y 95:
[tex]\[ \text{Descomposición en factores primos:} \][/tex]
- [tex]\(84 = 2^2 \times 3 \times 7\)[/tex]
- [tex]\(95 = 5 \times 19\)[/tex]
Los números no comparten factores primos comunes.
[tex]\[ m.c.d.(84, 95) = 1 \][/tex]
2. Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de 84 y 95:
[tex]\[ \text{El m.c.m. se obtiene multiplicando los números y dividiendo por su m.c.d.} \][/tex]
[tex]\[ m.c.m.(84, 95) = \frac{84 \times 95}{1} = 7980 \][/tex]
### Conjunto 4: 140, 325 y 490
1. Máximo Común Divisor (m.c.d.) de 140, 325 y 490:
[tex]\[ \text{Descomposición en factores primos:} \][/tex]
- [tex]\(140 = 2^2 \times 5 \times 7\)[/tex]
- [tex]\(325 = 5^2 \times 13\)[/tex]
- [tex]\(490 = 2 \times 5 \times 7^2\)[/tex]
El único factor primo común es [tex]\(5\)[/tex] con el menor exponente [tex]\(1\)[/tex]:
[tex]\[ m.c.d.(140, 325, 490) = 5 \][/tex]
2. Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de 140, 325 y 490:
[tex]\[ \text{El m.c.m. se obtiene al tomar el mayor exponente de todos los factores primos.} \][/tex]
- [tex]\(140 = 2^2 \times 5 \times 7\)[/tex]
- [tex]\(325 = 5^2 \times 13\)[/tex]
- [tex]\(490 = 2 \times 5 \times 7^2\)[/tex]
[tex]\[ m.c.m.(140, 325, 490) = 2^2 \times 5^2 \times 7^2 \times 13 = 63700 \][/tex]
## Resumen de Resultados:
1. Para 32 y 68:
- [tex]\( m.c.d. = 4 \)[/tex]
- [tex]\( m.c.m. = 544 \)[/tex]
2. Para 52 y 76:
- [tex]\( m.c.d. = 4 \)[/tex]
- [tex]\( m.c.m. = 988 \)[/tex]
3. Para 84 y 95:
- [tex]\( m.c.d. = 1 \)[/tex]
- [tex]\( m.c.m. = 7980 \)[/tex]
4. Para 140, 325 y 490:
- [tex]\( m.c.d. = 5 \)[/tex]
- [tex]\( m.c.m. = 63700 \)[/tex]
### Conjunto 1: 32 y 68
1. Máximo Común Divisor (m.c.d.) de 32 y 68:
[tex]\[ \text{Descomposición en factores primos:} \][/tex]
- [tex]\(32 = 2^5\)[/tex]
- [tex]\(68 = 2^2 \times 17\)[/tex]
El m.c.d. se obtiene al tomar el menor exponente común de los factores primos.
- En este caso, el único factor primo común es [tex]\(2\)[/tex] con el menor exponente [tex]\(2\)[/tex]:
[tex]\[ m.c.d.(32, 68) = 2^2 = 4 \][/tex]
2. Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de 32 y 68:
[tex]\[ \text{El m.c.m. se obtiene al tomar el mayor exponente de todos los factores primos.} \][/tex]
- [tex]\(32 = 2^5\)[/tex]
- [tex]\(68 = 2^2 \times 17\)[/tex]
[tex]\[ m.c.m.(32, 68) = 2^5 \times 17 = 544 \][/tex]
### Conjunto 2: 52 y 76
1. Máximo Común Divisor (m.c.d.) de 52 y 76:
[tex]\[ \text{Descomposición en factores primos:} \][/tex]
- [tex]\(52 = 2^2 \times 13\)[/tex]
- [tex]\(76 = 2^2 \times 19\)[/tex]
El m.c.d. se obtiene al tomar el menor exponente común de los factores primos.
- En este caso, el único factor primo común es [tex]\(2\)[/tex] con el menor exponente [tex]\(2\)[/tex]:
[tex]\[ m.c.d.(52, 76) = 2^2 = 4 \][/tex]
2. Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de 52 y 76:
[tex]\[ \text{El m.c.m. se obtiene al tomar el mayor exponente de todos los factores primos.} \][/tex]
- [tex]\(52 = 2^2 \times 13\)[/tex]
- [tex]\(76 = 2^2 \times 19\)[/tex]
[tex]\[ m.c.m.(52, 76) = 2^2 \times 13 \times 19 = 988 \][/tex]
### Conjunto 3: 84 y 95
1. Máximo Común Divisor (m.c.d.) de 84 y 95:
[tex]\[ \text{Descomposición en factores primos:} \][/tex]
- [tex]\(84 = 2^2 \times 3 \times 7\)[/tex]
- [tex]\(95 = 5 \times 19\)[/tex]
Los números no comparten factores primos comunes.
[tex]\[ m.c.d.(84, 95) = 1 \][/tex]
2. Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de 84 y 95:
[tex]\[ \text{El m.c.m. se obtiene multiplicando los números y dividiendo por su m.c.d.} \][/tex]
[tex]\[ m.c.m.(84, 95) = \frac{84 \times 95}{1} = 7980 \][/tex]
### Conjunto 4: 140, 325 y 490
1. Máximo Común Divisor (m.c.d.) de 140, 325 y 490:
[tex]\[ \text{Descomposición en factores primos:} \][/tex]
- [tex]\(140 = 2^2 \times 5 \times 7\)[/tex]
- [tex]\(325 = 5^2 \times 13\)[/tex]
- [tex]\(490 = 2 \times 5 \times 7^2\)[/tex]
El único factor primo común es [tex]\(5\)[/tex] con el menor exponente [tex]\(1\)[/tex]:
[tex]\[ m.c.d.(140, 325, 490) = 5 \][/tex]
2. Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de 140, 325 y 490:
[tex]\[ \text{El m.c.m. se obtiene al tomar el mayor exponente de todos los factores primos.} \][/tex]
- [tex]\(140 = 2^2 \times 5 \times 7\)[/tex]
- [tex]\(325 = 5^2 \times 13\)[/tex]
- [tex]\(490 = 2 \times 5 \times 7^2\)[/tex]
[tex]\[ m.c.m.(140, 325, 490) = 2^2 \times 5^2 \times 7^2 \times 13 = 63700 \][/tex]
## Resumen de Resultados:
1. Para 32 y 68:
- [tex]\( m.c.d. = 4 \)[/tex]
- [tex]\( m.c.m. = 544 \)[/tex]
2. Para 52 y 76:
- [tex]\( m.c.d. = 4 \)[/tex]
- [tex]\( m.c.m. = 988 \)[/tex]
3. Para 84 y 95:
- [tex]\( m.c.d. = 1 \)[/tex]
- [tex]\( m.c.m. = 7980 \)[/tex]
4. Para 140, 325 y 490:
- [tex]\( m.c.d. = 5 \)[/tex]
- [tex]\( m.c.m. = 63700 \)[/tex]
