Para determinar qué expresión tiene un valor de [tex]\(\frac{1}{3}\)[/tex], evaluamos cada una de las opciones disponibles.
Opción A: [tex]\(\left(2^{-4}\right)^{-1}\)[/tex]
Primero, evaluamos [tex]\(2^{-4}\)[/tex]:
[tex]\[ 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \][/tex]
Luego, aplicamos el exponente [tex]\(-1\)[/tex]:
[tex]\[ \left(\frac{1}{16}\right)^{-1} = 16 \][/tex]
Por lo tanto, [tex]\(\left(2^{-4}\right)^{-1} = 16\)[/tex]. Esta opción no es correcta porque el valor es 16 y no [tex]\(\frac{1}{3}\)[/tex].
Opción B: [tex]\(\left(2^4\right)^{-1}\)[/tex]
Primero, evaluamos [tex]\(2^4\)[/tex]:
[tex]\[ 2^4 = 16 \][/tex]
Luego, aplicamos el exponente [tex]\(-1\)[/tex]:
[tex]\[ 16^{-1} = \frac{1}{16} \][/tex]
Por lo tanto, [tex]\(\left(2^4\right)^{-1} = \frac{1}{16}\)[/tex]. Esta opción no es correcta porque el valor es [tex]\(\frac{1}{16}\)[/tex] y no [tex]\(\frac{1}{3}\)[/tex].
Opción C: [tex]\(\left(2^8\right)^{-2}\)[/tex]
Primero, evaluamos [tex]\(2^8\)[/tex]:
[tex]\[ 2^8 = 256 \][/tex]
Luego, aplicamos el exponente [tex]\(-2\)[/tex]:
[tex]\[ 256^{-2} = \left(\frac{1}{256}\right)^2 = \frac{1}{256^2} = \frac{1}{65536} \][/tex]
Por lo tanto, [tex]\(\left(2^8\right)^{-2} = \frac{1}{65536}\)[/tex]. Esta opción no es correcta porque el valor es [tex]\(\frac{1}{65536}\)[/tex] y no [tex]\(\frac{1}{3}\)[/tex].
Opción D: [tex]\(\left(2^{-8}\right)^{-2}\)[/tex]
Primero, evaluamos [tex]\(2^{-8}\)[/tex]:
[tex]\[ 2^{-8} = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256} \][/tex]
Luego, aplicamos el exponente [tex]\(-2\)[/tex]:
[tex]\[ \left(\frac{1}{256}\right)^{-2} = 256^2 = 65536 \][/tex]
Por lo tanto, [tex]\(\left(2^{-8}\right)^{-2} = 65536\)[/tex]. Esta opción no es correcta porque el valor es 65536 y no [tex]\(\frac{1}{3}\)[/tex].
Ninguna de las opciones dadas tiene un valor de [tex]\(\frac{1}{3}\)[/tex].
