Para resolver este problema, vamos a establecer las relaciones definidas en el enunciado y resolver la ecuación que resulta. Procedamos paso a paso:
1. Definiciones básicas:
- Suplemento de un ángulo [tex]\( x \)[/tex] es [tex]\( 180^\circ - x \)[/tex].
- Complemento de un ángulo [tex]\( x \)[/tex] es [tex]\( 90^\circ - x \)[/tex].
2. Relaciones dadas:
- [tex]\( x \)[/tex] es el ángulo original.
- El triple del ángulo es [tex]\( 3x \)[/tex].
- El doble del ángulo es [tex]\( 2x \)[/tex].
3. Cálculo de los valores requeridos:
- Suplemento del ángulo [tex]\( x \)[/tex] es [tex]\( 180^\circ - x \)[/tex].
- Complemento del ángulo triple [tex]\( 3x \)[/tex] es [tex]\( 90^\circ - 3x \)[/tex].
- Sumamos el suplemento del ángulo [tex]\( x \)[/tex] y el complemento del ángulo triple [tex]\( 3x \)[/tex]:
[tex]\[
(180^\circ - x) + (90^\circ - 3x)
\][/tex]
Simplificando:
[tex]\[
180^\circ - x + 90^\circ - 3x = 270^\circ - 4x
\][/tex]
- Suplemento del complemento del ángulo doble [tex]\( 2x \)[/tex]:
- Complemento del ángulo doble [tex]\( 2x \)[/tex] es [tex]\( 90^\circ - 2x \)[/tex].
- Suplemento de este complemento es [tex]\( 180^\circ - (90^\circ - 2x) \)[/tex]:
[tex]\[
180^\circ - 90^\circ + 2x = 90^\circ + 2x
\][/tex]
4. Condición dada:
- La suma del suplemento del ángulo [tex]\( x \)[/tex] y el complemento de su ángulo triple [tex]\( 3x \)[/tex] es igual a [tex]\( \frac{7}{4} \)[/tex] del suplemento del complemento del ángulo doble [tex]\( 2x \)[/tex]:
[tex]\[
270^\circ - 4x = \frac{7}{4} (90^\circ + 2x)
\][/tex]
5. Desarrollar la ecuación:
- Multiplicamos ambos lados de la ecuación para eliminar el denominador:
[tex]\[
4 (270^\circ - 4x) = 7 (90^\circ + 2x)
\][/tex]
[tex]\[
1080^\circ - 16x = 630^\circ + 14x
\][/tex]
Sumamos [tex]\( 16x \)[/tex] a ambos lados:
[tex]\[
1080^\circ = 630^\circ + 30x
\][/tex]
Restamos [tex]\( 630^\circ \)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[
450^\circ = 30x
\][/tex]
Dividimos ambos lados por 30:
[tex]\[
x = \frac{450^\circ}{30} = 15^\circ
\][/tex]
6. Conclusión:
La medida del ángulo es [tex]\( 15^\circ \)[/tex], lo cual corresponde a la opción c).
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
c) 15°
