Para resolver el problema, primero necesitamos evaluar las funciones [tex]\( f(x) \)[/tex] y [tex]\( g(x) \)[/tex] en [tex]\( x = 2 \)[/tex]. Luego, encontraremos la diferencia [tex]\( g(x) - f(x) \)[/tex] para ese valor de [tex]\( x \)[/tex].
Dadas las funciones:
[tex]\[ f(x) = -2 x^2 + \frac{3}{2} x + 3 \][/tex]
[tex]\[ g(x) = -\frac{3}{2} x^2 + \frac{5}{2} x - 1 \][/tex]
Primero evaluamos [tex]\( f(2) \)[/tex]:
[tex]\[ f(2) = -2 (2)^2 + \frac{3}{2} (2) + 3 \][/tex]
[tex]\[ f(2) = -2 (4) + 3 + 3 \][/tex]
[tex]\[ f(2) = -8 + 3 + 3 \][/tex]
[tex]\[ f(2) = -2 \][/tex]
Ahora evaluamos [tex]\( g(2) \)[/tex]:
[tex]\[ g(2) = -\frac{3}{2} (2)^2 + \frac{5}{2} (2) - 1 \][/tex]
[tex]\[ g(2) = -\frac{3}{2} (4) + 5 - 1 \][/tex]
[tex]\[ g(2) = -6 + 5 - 1 \][/tex]
[tex]\[ g(2) = -2 \][/tex]
Ahora calculamos [tex]\( g(2) - f(2) \)[/tex]:
[tex]\[ g(2) - f(2) = -2 - (-2) \][/tex]
[tex]\[ g(2) - f(2) = -2 + 2 \][/tex]
[tex]\[ g(2) - f(2) = 0 \][/tex]
Por lo tanto, al resolver [tex]\( g(x) - f(x) \)[/tex] para [tex]\( x = 2 \)[/tex], obtenemos:
[tex]\[ \boxed{0} \][/tex]
La respuesta correcta es la opción [tex]\( C. 0 \)[/tex].
