Para encontrar el resultado de la expresión [tex]\((3 a^2 b + 2 b^2)^3\)[/tex], debemos expandir el binomio elevado al cubo. A continuación, paso a paso, desarrollaremos la expansión del binomio:
Primero, recordemos la fórmula para el cubo de un binomio [tex]\((x + y)^3\)[/tex], que se puede expresar como:
[tex]\[
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
\][/tex]
En este caso, digamos que [tex]\( x = 3a^2b \)[/tex] e [tex]\( y = 2b^2 \)[/tex]. Aplicando la fórmula sobre estos términos, tenemos que expandir:
[tex]\[
(3a^2b + 2b^2)^3
\][/tex]
Siguiendo la fórmula general del cubo de un binomio:
[tex]\[
(3a^2b + 2b^2)^3 = (3a^2b)^3 + 3(3a^2b)^2(2b^2) + 3(3a^2b)(2b^2)^2 + (2b^2)^3
\][/tex]
Ahora, calculemos cada término individualmente:
1. [tex]\( (3a^2b)^3 \)[/tex]:
[tex]\[
(3a^2b)^3 = 27a^6b^3
\][/tex]
2. [tex]\( 3(3a^2b)^2(2b^2) \)[/tex]:
[tex]\[
3(3a^2b)^2(2b^2) = 3 \cdot 9a^4b^2 \cdot 2b^2 = 54a^4b^4
\][/tex]
3. [tex]\( 3(3a^2b)(2b^2)^2 \)[/tex]:
[tex]\[
3(3a^2b)(2b^2)^2 = 3 \cdot 3a^2b \cdot 4b^4 = 36a^2b^5
\][/tex]
4. [tex]\( (2b^2)^3 \)[/tex]:
[tex]\[
(2b^2)^3 = 8b^6
\][/tex]
Finalmente, sumamos todos los términos obtenidos:
[tex]\[
27a^6b^3 + 54a^4b^4 + 36a^2b^5 + 8b^6
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
[tex]\[
27a^6b^3 + 54a^4b^4 + 36a^2b^5 + 8b^6
\][/tex]
Esto coincide con la opción A.
